برخی از یادداشت ها در مورد قضیه نمایندگی Martingale و برنامه های کاربردی آنها текст начной {сbes по специальности «матератика»

یک قضیه مهم در زمینه مالی تصادفی ، قضیه نمایندگی مارتینگال است. در مرحله ساخت استراتژی های محافظت از Hedging (مانند محافظت از تقاطع و تکرار پرچین) در حضور دارایی های مختلف با مدل های دینامیک تصادفی مختلف مفید است. در مقاله حاضر ، برخی از نتایج نظری جدید در مورد این قضیه از جمله مشتق عملکرد همبستگی سریال یک فرآیند مارتینگال و تقریب انتظارات شرطی آن ارائه شده است. برنامه های کاربردی در نسبت پرچین بهینه و قیمت گذاری مشتق مالی ارائه شده و تجزیه و تحلیل حساسیت مورد بررسی قرار می گیرد. در طی نتایج نظری ، نتایج مبتنی بر شبیه سازی نیز ارائه شده است. دو مجموعه داده واقعی مورد تجزیه و تحلیل قرار می گیرد و اظهارات نتیجه گیری داده می شود. سرانجام ، یک بخش نتیجه گیری ارائه شده است.

похожие теrыы начных работ по матеarsе ، аВтre наquчной рwes - حبیبی ریزا

текст наquчной работы на тre «برخی از یادداشت ها در مورد قضیه نمایندگی مارتینگال و کاربردهای آنها»

مجله ریاضی اورال ، جلد. 6 ، شماره 2 ، 2020 ، صص 76-86

برخی از یادداشت ها در مورد قضیه نمایندگی Martingale و برنامه های آنها

موسسه بانکی ایران ، بانک مرکزی ایران ، خیابان پاسداران ، 8-هفتم نگارستان ، تهران ، ایران رضهبیبیبی [email protected]

چکیده: یک قضیه مهم در زمینه مالی تصادفی ، قضیه نمایندگی مارتینگال است. در مرحله ساخت استراتژی های محافظت از Hedging (مانند محافظت از تقاطع و تکرار پرچین) در حضور دارایی های مختلف با مدل های دینامیک تصادفی مختلف مفید است. در مقاله حاضر ، برخی از نتایج نظری جدید در مورد این قضیه از جمله مشتق عملکرد همبستگی سریال یک فرآیند مارتینگال و تقریب انتظارات شرطی آن ارائه شده است. برنامه های کاربردی در نسبت پرچین بهینه و قیمت گذاری مشتق مالی ارائه شده و تجزیه و تحلیل حساسیت مورد بررسی قرار می گیرد. در طی نتایج نظری ، نتایج مبتنی بر شبیه سازی نیز ارائه شده است. دو مجموعه داده واقعی مورد تجزیه و تحلیل قرار می گیرد و اظهارات نتیجه گیری داده می شود. سرانجام ، یک بخش نتیجه گیری ارائه شده است.

واژه های کلیدی: انتظار شرطی ، قیمت گذاری مشتق ، قضیه نمایندگی مارتینگیل ، نسبت پرچین بهینه ، تجزیه و تحلیل حساسیت ، همبستگی سریال ، شبیه سازی ، پویا تصادفی.

قضیه نمایندگی Martingale بیان می کند که هر مارتینگیل با توجه به یک حرکت براون ، می تواند به عنوان یک انتگرال تصادفی با توجه به همان حرکت براون بیان شود. این برنامه در استراتژی های محافظت از ساخت و ساز برای انواع مختلف دارایی با پویایی تصادفی مختلف ، کاربردهای بسیاری دارد ، به [1] مراجعه کنید. در یادداشت فعلی ، ویژگی های سری زمانی این قضیه مهم ارائه شده است. قبل از رفتن به آینده ، یک لم مهم ارائه شده است. بگذارید bt حرکت استاندارد براون در (0 ، RO) باشد و ft میدان سیگما است که توسط تاریخچه BS ، S ساخته شده استبرای استفاده از این قضیه برای x و y (نگاه کنید به ، [1]). این فرضیات برای کلیه مباحث بیشتر مقاله ثابت نگه داشته می شود.

LEMMA 1. جملات (الف) و (ب) صحیح است: (الف) همبستگی pxy بین x ، y ، به شرح زیر است

در اینجا ایالات متحده و VS دو فرآیند قابل پیش بینی به ترتیب در قضیه بازنمایی مارتینگیل به ترتیب برای X ، Y استفاده می شوند.

(b) فرض کنید که E (x | y = y) = ay + b ، e (y x = x) = cx + d. سپس،

ix = aiy + b ، iy = c^x + d ،

جایی که ¡ia و a "a به ترتیب میانگین و واریانس a = x ، y هستند.

اثبات(الف) قضیه نمایندگی مارتینگال به این معنی است که (نگاه کنید به [2]) دو فرآیند قابل پیش بینی وجود دارد ، به گونه ای که

x = e (x)+ i usdbs ، '° t

y = e (y)+/ vsdbs. j 0

برای بررسی در حساب تصادفی ، به [7] مراجعه کنید. دیدن آن آسان است

e / usdbs = e / vsdbs

با ضرب بالاتر از دو معادله و انتظار ، دیده می شود که

e (xy) = e (x) e (y) + e (x) e توجه داشته باشید که [7]

+ e j f usvtdbsdbt. j 0 j 0

e i usvtdbsdbt = i e (usvs) ds. 0 0 0

از این رو ، دیده می شود که کواریانس بین x و y ، یعنی محورهای axy = cov (x ، y) توسط

Axy = E (USV) ds. 0

همچنین ، با استفاده از لیم ایزومتریک ITO (نگاه کنید به [7]) ، دیده می شود که

E (x2) = (e (x)) 2 + i e (u2) ds

= var x = e (u2) ds. 0

بنابراین استنتاج کامل است.

(ب) اثبات با استفاده از قانون انتظار تکرار شده ساده است (نگاه کنید به [2]). بنابراین حذف شده است.□

Example 1. Here, to give an example for assumption of part (b), a special case is considered. For a specific t,h>0 ، بگذارید X با توجه به FT یک مارتینگال باشد ، سپس طبق قضیه نمایندگی مارتینگاله ، ما داریم

X - XT - í Us DBS + E (x). 0

در اینجا ، E (x) ثابت و مستقل از t است. بگذارید y = xt+h. برای مورد خاص ، فرض کنید ایالات متحده یک عملکرد با ارزش واقعی است. سپس،

r = y - x = j Us dbs.

واضح است که XT یک فرآیند افزایش مستقل است و R دارای توزیع عادی با میانگین صفر و واریانس J^ u^ ds است. توجه داشته باشید که ترکیبی خطی از (^ p^ به شرح زیر است

و از آنجا

بنابراین ، XY دارای توزیع مشترک با میانگین بردار EE ((xx)) و ماتریس کواریانس است

a2x - uu^ds ، a2r - u^ds.

همبستگی بین x ، y است

pxy- i-- i 1 "b 2

همچنین ، توجه کنید که E (XT+H | XT) = XT. از این رو ، پارامترهای A ، B ، C و D قضیه هستند

1 + ^fj ، b = (l-a) e (x) ، c = 1 ، d = 0.

بقیه مقاله به شرح زیر سازماندهی شده است. در بخش بعدی استفاده از LEMMA 1 در نسبت بهینه بهینه از پرچین بحث شده است. بخش 3 از (B) LEMMA 1 برای تقریب میانگین شرطی استفاده می کند و از آن برای قیمت گذاری مشتق مالی استفاده می شود. نتایج شبیه سازی در بخش های نظری ارائه شده است. تجزیه و تحلیل مجموعه داده های واقعی در بخش 4 آورده شده است. سرانجام ، یک بخش نتیجه گیری ارائه شده است.

2. نسبت پرچین بهینه

در اینجا ، استفاده از بحث فوق در مدیریت نمونه کارها بحث شده است. روش Hedging Cross ساخت یک سبد تقریباً ریسک با استفاده از یک واحد از اولین دارایی X در موقعیت طولانی و واحدهای H در موقعیت کوتاه (در بلوغ) است (نگاه کنید به [4]).

بگذارید z = x - hy مقدار نمونه کارها در بلوغ t باشد. واریانس Z توسط

با به حداقل رساندن A2Z با توجه به H ، مشاهده می شود که نسبت بهینه HEDGE HOPT توسط

از این رو ، ارزش بهینه نمونه کارها در بلوغ است

z = x - hopty = e (x) - hopte (y) + / (us - hoptvs) dbs.

واریانس Z در بلوغ AF2 (1 - P2XY) است.

بعد ، فرض کنید که نرخ بهره بدون ریسک صفر است ، سپس مقدار x ، y در بلوغ t زیر است (نگاه کنید به [2])

xt = e (x ft) = e (x) + / usdbs ،

yt = e (y | ft) = e (y) + / vsdbs.

نمونه کارها خود را در نظر بگیرید ZT = XT-HTYT (نگاه کنید به [7]). فرض کنید که ht = ut/vt. توجه کنید که

dz = dx - hdy = (u - hv) db. سپس ، dz = 0. بنابراین ، z ثابت است. در واقع ، z = e (x) - او (y). از این رو ،

XT - htyt = e (x) - hte (y).

= xt-e (x) * yt-e (y) • گزاره زیر بحث فوق را خلاصه می کند.

گزاره 1. جملات (الف) و (ب) صحیح است.

(الف) تحت نمایندگی Martingale ، نسبت بهینه پرچین برای محافظت از صلیب X توسط y ، توسط

(ب) نسبت تکرار شونده برای بازگرداندن نمونه کارها ، سبد حراجی پویا است

اثباتبحث های فوق را ببینید.□

بعد ، قضیه نمایندگی مارتینگال را به شرح زیر در نظر بگیرید

xt = e (x | ft) = e (x) + / usdbs.

بگذارید g (t) = e (uf) و g (t) = log (g (t)) و g 'اولین مشتق آن باشد. طبق Lemma 1 ، (A) و ITO Isometric Lemma ، ضریب همبستگی Pt (H) بین XT+H ، XT توسط XT داده شده است

As h —>• 0+ ، سپس Pt (/؟.) توسط L//L + Hg '(T) به خوبی تأیید می شود. دوره دوم g "(t) را می توان به تقریب ذکر شده اضافه کرد ، که در عمل لازم نیست.

3. میانگین تقریب مشروط

در اینجا ، با استفاده از قسمت دوم Lemma 1 ، میانگین مشروط E (XT | XT+H) تقریب می یابد و سپس کاربرد مالی آن مشاهده می شود.

E (xt | xt + h) = p + pf (h) (xt + h - p) ، که در آن p2 (h) = 1/(1 + hg '(t)). گزاره زیر بحث فوق را خلاصه می کند.

گزاره 2. با فرض E (XT | XT+H) با عملکرد خطی XT+H به خوبی تأیید می شود

E (XT | XT+H) = P+PF (H) (XT+H - P) ،

p r o o f. بحث های فوق را ببینید.□

مثال 1 (ادامه). در اینجا ، نشان داده شده است که فرمول مثال 1 مربوط به تقریب گزاره 2 است ، به عنوان H 0.

بنابراین ، a2x = n (t) و af = k (t + h) - n (t)~hn '(t). از این رو ،

این دقیقاً برابر با فرمول تقریبی گزاره 2 است.

نکته 1. در اینجا برخی از تجزیه و تحلیل حساسیت بحث شده است. در واقع ، ما خواص زیر را داریم.

(الف) به عنوان H ^ 0 ، سپس pt (h) ^ 1 که مشخص است (از آنجا که همبستگی هر متغیر با خود یک است). به عنوان H ^ ro ، سپس pt (h) ^ 0 که از آنجا که XT+H و XT کاملاً مشخص است از یکدیگر کافی است. همچنین،

که به - 0. 5G '(t) همگرا می شود ، به عنوان H ^ 0. هنگامی که H ^ ro ، DP/DH به صفر می رود که مشخص است زیرا تغییر Pt (H) در بی نهایت بسیار کوچک است.

(ب) دیدن آن آسان است

مثال 2. اجازه دهید = 2BS ، سپس xt = bf - t یک مارتینگال است. در واقع،

به عنوان مثال ، هنگامی که t = 0. 1 ، 0. 5 ، شکل 1 رفتار رفتار را نشان می دهد

به ترتیب. به عنوان بیشتر t ^ 0 ، سپس انحنای Pt (H) به محور افقی نزدیک است. توجه کنید که

این واضح است زیرا به عنوان t ^ ro یا t ^ 0 ، سپس pt (h) ^ 1 و تنوع آن بسیار اندک است. این یک پدیده جالب است که هرچه T بزرگ شود ، پس از آن همبستگی B2 با مقادیر آینده آن برای هر ساعت بزرگ است. برای مورد خاص ، هنگامی که h = t ، سپس pt (h) = /2/2.

Also, let h = q(t), for some real valued function q, and suppose that q(t)/t converges to a (fi) as t —> 0 (t —>OO) ، سپس Pt (H) تمایل به L /Y /L + A (1 /1 + /3) دارد. شکل 1 رفتار po. i (h) و p0. 5 (h) را نشان می دهد که بحث فوق را تأیید می کند. برای مثال دیگر ، به عنوان گسترش حرکت براون ، فرآیند Ostein-Uhlenbeck را که توسط

ito lemma دلالت بر این دارد که x = xt = Eatut معادله دیفرانسیل تصادفی را برآورده می کند

که با توجه به FT با استفاده از مثال 1 ، مارتینگال است ، دیده می شود که