تعیین فواصل اطمینان و همگرایی ، برای پارامترهای موجود در مدل های تخلیه تصادفی

مسئله ای که هنگام استفاده از مدل های Egress تصادفی برای نشان دادن دقیق سناریوی مدل شده ، چند شبیه سازی مورد نیاز است؟مهندسان بیشتر به یک نماینده کل تخلیه (TET) علاقه مند هستند. با این حال ، همگرایی TET ممکن است اطمینان حاصل نکند که طیف گسترده ای از پویایی تخلیه به اندازه کافی نشان داده شده است. میانگین منحنی کل Egress (AC) به عنوان یک اقدام بهبود یافته پیشنهاد شده است. متأسفانه ، تعریف فاصله اطمینان (CI) برای AC مشکل ساز است. CIS می تواند دقت بسیاری از آمار را تعیین کند و برای تعریف همگرایی در مدل سازی خروجی و سایر زمینه های تحقیقاتی مورد استفاده قرار گرفته است. در این مقاله یک کاربرد جدید از بوت استرپینگ ، اقدامات تجزیه و تحلیل عملکردی (FAM) و یک الگوریتم بی نظیر ، برای استخراج سه CI مبتنی بر FAM نشان دهنده دقت AC ارائه شده است. این CI ها با استفاده از یک مدل نظری برای نشان دادن قوام احتمال پوشش ، درصد واقعی CIS که حاوی پارامتر نظری است ، با سطح اطمینان 95 ٪ اسمی (NCL) مورد آزمایش قرار گرفتند. برای دو مورد از CIS مبتنی بر FAM ، مشخص شد که احتمال پوشش بین 2 ٪ و 95. 6 ٪ برای کلیه اندازه های نمونه آزمایش شده بین 10 تا 4000 شبیه سازی است. سومین احتمال پوشش CI مبتنی بر FAM همیشه بیشتر از NCL بود و یک تخمین محافظه کارانه بود ، اما این هیچ مشکلی در عمل ایجاد نکرد. CI مبتنی بر FAM ممکن است نشان دهد که آیا در مرحله اولیه تخلیه تنوع کم و بیش وجود دارد. یک طرح همگرایی مبتنی بر دقت آماری ، عرض CI ، پیشنهاد و تأیید شده است. این روش را می توان به سایر آمار گسترش داد.

روی نسخه خطی کار می کنید؟

معرفی

یک رویکرد تصادفی برای شبیه سازی تخلیه [1 ، 2] در بسیاری از مدل ها [3،4،5،6،7،8] به کار رفته است تا منعکس کننده عدم اطمینان در رفتار انسان باشد [9]. اگر یک آزمایش تخلیه (تجربی یا شبیه سازی شده) با استفاده از همان جمعیت و همان شرایط اولیه تکرار شود ، ممکن است تخلیه متفاوت پیشرفت کند و ممکن است منجر به اختلاف در زمان تخلیه کل (TET) یا سایر آمار مورد علاقه شود. علاوه بر این عدم اطمینان ، عدم اطمینان مربوط به شرایط اولیه نیز وجود دارد که توزیع عوامل (به عنوان مثال تعداد عوامل و مکان های شروع) و ویژگی های آنها (به عنوان مثال سرعت پیاده روی و زمان پاسخ) نیز ممکن است باعث ایجاد اختلاف بین آزمایشات شود. این عدم قطعیت ها را می توان با نمونه برداری به طور تصادفی توابع توزیع مناسب برای این ویژگی ها شبیه سازی کرد. یک رویکرد تصادفی ساده در شبیه سازی مونت کارلو Egress اتخاذ شده است اگرچه می توان از سایر روشهای نمونه برداری ممکن استفاده کرد [10].

بسیاری از شبیه سازی ها برای نشان دادن طیف وسیعی از رفتارهای بالقوه که ممکن است برای یک سناریوی خاص انتظار داشته باشد ، لازم است. با این حال ، این در برابر هزینه محاسباتی بالقوه قابل توجه برای اجرای یک مدل Egress تصادفی است که یک کاربر نهایی مایل به به حداقل رساندن آن است. بنابراین ، یک مسئله اساسی که کاربران مدل Egress تصادفی با آن روبرو هستند ، تعیین می کند که چه زمانی شبیه سازی کافی انجام شده است تا نمایش دقیقی از سناریوی مدل شده و آمار مورد علاقه ارائه دهد. در ادبیات مدل سازی تخلیه [11،12،13،14،15،16،17،18،19،20] که این موضوع را بررسی می کند ، به طور گسترده ای دو رویکرد پیشنهاد شده است. روش اول بر اساس اجرای تعداد مشخصی از شبیه سازی ها است. رویکرد دوم مبتنی بر ارزیابی پویا از رفتار آماری (های) مورد علاقه است.

هنگامی که اولین روش استفاده می شود ، طیف گسترده ای برای تعداد مورد نیاز شبیه سازی پیشنهاد شده است. برای تجزیه و تحلیل تخلیه قطار با سرعت بالا ، لی و همکاران.[11] پیشنهاد کرد که 10 شبیه سازی کافی باشد که شرایط خاصی برآورده شود. برای تجزیه و تحلیل کشتی بزرگ مسافر ، سازمان بین المللی دریایی (IMO) توصیه می کند که حداقل 500 شبیه سازی برای تعیین TET صدک 95 استفاده شود [12]. آنها علاوه بر این اظهار داشتند که تعداد کمتری از شبیه سازی ها مجاز به ارائه یک روش همگرایی مناسب هستند [13]. برای تجزیه و تحلیل تخلیه هواپیما ، Galea [14] خاطرنشان کرد: از 1000 شبیه سازی می توان به طور معمول برای تعیین TET صدک 95 استفاده کرد. Meacham و همکاران.[15] از شبیه سازی 2000 برای ساخت یک عملکرد چگالی تجمعی (CDF) از TET ها برای سناریوهای ساختمان استفاده کرد. هیچ اجماعی در مورد تعداد شبیه سازی های مورد استفاده وجود ندارد و به طور کلی توجیه کمی برای تعداد شبیه سازی های پیشنهادی وجود دارد. ضرر این رویکرد این است که مشخص نیست که آیا تعداد شبیه سازی ها برای نشان دادن طیف وسیعی از رفتارهایی که ممکن است وجود داشته باشد ، کافی است. علاوه بر این ، تعداد شبیه سازی های انجام شده می تواند بیش از حد باشد ، برای هدف در نظر گرفته شده ، که می تواند تعداد سناریوهای بالقوه یا طرح های جایگزین را که می توان مورد بررسی قرار داد محدود کند. این رویکرد این مزیت را دارد که نیاز به تخصص کمی modeller اضافی داشته باشد ، اما همچنین محدود است زیرا برخی از مدل ها ممکن است نسبت به تعداد انتخابی شبیه سازی ها بسیار حساس باشند [16].

در رویکرد دوم ، شبیه سازی های اضافی اضافی تا زمانی که برخی از شاخص های همگرایی برآورده نشوند ، انجام می شود. با این رویکرد ، تعداد شبیه سازی های انجام شده پیشینی ناشناخته است. تعداد نهایی شبیه سازی های انجام شده بر اساس رفتار آمار مورد علاقه است و باید اطمینان حاصل شود که محاسبات کافی و نه بیش از حد انجام می شود. در مقایسه با اجرای تعداد خودسرانه از شبیه سازی ها ، این نیاز به تخصص در تعیین تحمل مناسب همگرایی برای سناریو در حال اجرا دارد. دو نوع شاخص ارائه شده است ، نوع اول بر اساس فواصل اطمینان (CIS) [21 ، 22] و نوع دوم بر اساس بررسی تفاوت های پی در پی در آمار مورد علاقه با شبیه سازی اضافی است.

تکنیک های مبتنی بر CI به طور پی در پی در مدل سازی Egress [13 ، 20] و زمینه های مختلف مطالعه [23،24،25،26،27،28] برای تعریف همگرایی مورد استفاده قرار گرفته است. برای تجزیه و تحلیل کشتی بزرگ مسافر ، Grandison et al.[13] CI از صدک 95 را با استفاده از توزیع دوتایی محاسبه کنید و آزمایش تدریجی با شبیه سازی های اضافی ، محدودیت های CI را در برابر معیار عبور/شکست [12] محاسبه کنید. این تکنیک برای تعیین دقیق آیا طراحی کشتی از بین رفته یا شکست خورده است ، در حالی که تلاش محاسباتی مورد نیاز را به حداقل می رساند. علاوه بر این ، آنها خاطرنشان كردند كه این روش می تواند برای تعیین همگرایی بر اساس دقت مورد نیاز سازگار باشد و این روش را می توان به سایر آمارهای مناسب علاقه و انواع تجزیه و تحلیل Egress گسترش داد. ضرر این روش این است که تعیین CIS برای برخی از آمارها می تواند دشوار باشد. با این حال ، مزیت این طرح این است که شاخص های همگرایی مستقیماً با دقت آمار علاقه در ارتباط هستند.

یک تکنیک تفاوت پی در پی توسط Ronchi و همکاران ارائه شده است.[17] و رونی و نیلسون [18]. Ronchi و همکاران.[17] همگرایی را تعریف کنید (یعنی شبیه سازی های تکراری کافی انجام شده است) هنگامی که پنج آمار مورد علاقه آنها (MT ، SD و سه اقدامات تجزیه و تحلیل عملکردی (FAM) از میانگین منحنی کل Egress (AC)) همه با کمتر از مشخص خود تغییر کردندتحمل در هر شبیه سازی بیش از تعداد مشخصی از شبیه سازی ها. پیشنهاد شده است که این تحمل ها می توانند بر اساس عدم اطمینان از زمان استفاده ایمن در دسترس از تجزیه و تحلیل مدل سازی آتش سوزی باشند. علاوه بر این ، Lovreglio و همکاران.[19] پیشنهاد کرد که این تحمل ها می توانند براساس مقادیر تعیین شده از مجموعه ای از آزمایشات تخلیه مکرر هنگام استفاده برای اعتبارسنجی یک مدل Egress تصادفی باشد. مزیت رویکرد تفاوت پی در پی ، سادگی در محاسبه شاخص های همگرایی است. با این حال ، Ronchi و همکاران. خاطرنشان كرد: "اولین محدودیت روش این است كه از مفاهیم همگرایی در میانگین و قضیه حد اصلی استفاده می كند تا تخمین آماری از مقادیر مورد انتظار ...". این بدان معنی است که شاخص های همگرایی آنها به طور مستقیم با خطاهای استاندارد یا CIS آمار مورد علاقه ارتباط ندارد.

از مثالهای قبلی ، پارامتر بیشترین علاقه یک نماینده نماینده است. با این حال ، یک تجزیه و تحلیل صرفاً بر اساس TET ممکن است جزئیات مهم تخلیه را از دست بدهد [16،17،18،19،20 ، 29] ، به عنوان مثال ، مجموعه ای از محاکمات Egress می تواند TET های نماینده مشابهی داشته باشد ، اما پویایی تخلیه فردی می تواند باشدخیلی متفاوت. تجزیه و تحلیل دقیق تر از تخلیه می تواند با بررسی زمان خروج از درصد مشخصی از عوامل انجام شود [18 ، 20]. با این حال ، با بررسی کل منحنی Egress عامل (یک بردار سفارش داده شده از زمان خروج نماینده فردی) از طریق FAM ها ، می توان سطح حتی بیشتری از جزئیات را بدست آورد. [16 ، 17 ، 19 ، 29]. علاوه بر این ، منحنی های Egress یک خروجی معمولی از بسیاری از مدل های تخلیه هستند. از رفتار همگرایی AC برای نشان دادن عدم اطمینان رفتاری ، عدم قطعیت مرتبط با ماهیت تصادفی رفتار انسان ، توسط Ronchi و همکاران استفاده شد.

CI نشان داده شده است که به طور دقیق و کارآمد همگرایی را برای آمار علاقه به مدل سازی Egress و سایر زمینه های مطالعه تعیین می کند. استفاده از Ronchi و همکاران از AC نوآوری مهمی در مطالعه تنوع Egress بود. بنابراین مطلوب است که با استفاده از CIS در AC ، روش اصلی خود را گسترش دهند و از این طریق تعبیر آماری استاندارد تری از عدم اطمینان رفتاری ارائه دهند. با این حال ، به طور شهودی آشکار نیست که چگونه می توان CIS را برای این منحنی تعیین کرد و قبلاً هیچ راه حلی منتشر نشده است. سهم اصلی این مقاله توسعه CIS مبتنی بر FAM برای AC (بخش 3) با سطح اطمینان کلی دقیق است. این کار با استفاده از کاربرد جدید bootstrapping (به بخش 2. 1) ، FAMS (به بخش 2. 2 مراجعه کنید) و یک الگوریتم بی نظیر (به بخش 3. 1 مراجعه کنید). این به اولین محدودیت روش Ronchi و همکاران می پردازد و اجازه می دهد تا مزایای رویکرد CI به همگرایی با AC در یک چارچوب مشترک ترکیب شود. همچنین استفاده از FAM ها ، تشکیل CIS ، از آنجا که برای جوامع تحقیقاتی آتش و تخلیه تا حدودی آشنا هستند ، سودمند است. FAM ها در سال 1999 به میدان ایمنی آتش سوزی معرفی شدند [30] و اولین استفاده گزارش شده برای تخلیه در سال 2012 بود [29]. سهم بیشتر این مقاله ، توسعه یک طرح همگرایی است. طرح همگرایی بر اساس همان متغیرهای مورد استفاده Ronchi و همکاران است.[17] ، یعنی AC ، MT و SD ، اما از CIS استفاده می کند. CI برای MT بر اساس بیان استاندارد توزیع T (به بخش 2 مراجعه کنید) است و CI برای SD با استفاده از یک برنامه استاندارد از راه اندازی bootstrapping به دست می آید (به بخش 2. 1. 1 مراجعه کنید). این طرح همگرایی به طور مؤثر تعیین می کند که چه زمانی تمام آمار علاقه به دقت آماری مورد نیاز خود رسیده است. استفاده از همگرایی AC به اطمینان حاصل می شود که تنوع ، بین شبیه سازی ها ، که با بررسی TET ها به تنهایی بیان نمی شود ، نیز ضبط می شود.

CIS و طرح همگرایی با استفاده از یک مدل نظری ساده مورد آزمایش و تأیید قرار می گیرند. جدا از نشان دادن صحت روش ها ، این کار همچنین به بحث در مورد چگونگی تعیین تحمل های مناسب برای CIS مبتنی بر FAM از AC می پردازد.

پیشینه آماری و ریاضی

در این بخش زمینه ای مختصر در مورد اصطلاحات و روشهای لازم مورد استفاده در این مقاله ارائه شده است. در ابتدا ، برخی از اصطلاحات آماری استاندارد شرح داده خواهد شد. این بخش اولیه را می توان توسط خوانندگان با پایه و اساس آمار از بین برد. این به دنبال یک مرور کلی از "bootstrapping" با برخی از نمونه های کار شده است (بخش 2. 1). سرانجام ، خلاصه ای از تجزیه و تحلیل عملکردی ، که برای مقایسه منحنی های Egress استفاده می شود ، آورده شده است (بخش 2. 2).

آمار نمونه ارزش یک برآوردگر بر اساس نمونه ای از جمعیت نتایج است. یک پارامتر جمعیت می تواند به عنوان ارزش یک برآوردگر بر اساس کل جمعیت نتایج در نظر گرفته شود. نمونه هایی از برآوردگرها شامل میانگین TET (MT) (معادله 1) ، صدک 95 و انحراف استاندارد (SD) TET است. در حالت ایده آل ، فرد می خواهد این پارامتر را بشناسد ، اما عملاً (به طور کلی) فقط می توان آماری از نمونه از نتایج و طیف وسیعی از مقادیر بالقوه را برای پارامتر بدست آورد. آمار نمونه بسته به ماهیت نمونه به دست آمده ، تنوع را نشان می دهد اگرچه آمار نمونه با افزایش اندازه نمونه به مقدار پارامتر تمایل دارد (قانون تعداد زیادی [22]).

"مقدار مورد انتظار" یک آمار نمونه ، میانگین مقدار یک سری از نمونه های مستقل بی نهایت تکرار شده از آن نمونه با همان اندازه نمونه است [22]. اگر برآوردگر بی طرف باشد ، با پارامتر جمعیت مربوطه برابر خواهد بود. این مورد برای بسیاری از برآوردگرها وجود دارد اگرچه نمونه SD کمی مغرضانه است. در حالی که تصحیح تعصب واریانس استاندارد اعمال شده است (معادله 2) ، یعنی تقسیم بر (n - 1) به جای n ، هنوز تعصب باقیمانده ای وجود دارد. با توجه به مقیاس بزرگ تنوع مرتبط با SD در مقایسه با اندازه کوچک تعصب و پیچیدگی محاسبه آن تعصب ، غفلت از این تعصب منطقی است. با افزایش اندازه نمونه ، تعصب کوچکی که وجود دارد نیز کاهش می یابد.

اگرچه به طور کلی شناخت دقیقاً پارامتر جمعیت غیرممکن است ، می توان طیف وسیعی از مقادیر ممکن را برای پارامتر جمعیت بر اساس نمونه نتایج تخمین زد. این یک CI است که بین نمونه های مختلف متفاوت خواهد بود اما اغلب شامل پارامتر مورد علاقه خواهد بود. در حالت ایده آل ، این فرکانس توسط سطح اطمینان (CL) تعیین می شود. با این حال ، فرکانس واقعی ، که به عنوان احتمال پوشش شناخته می شود ، ممکن است در عمل متفاوت باشد. مجموعه ای از CIS برای 50 نمونه مختلف در شکل 1 نشان داده شده است. این برای یک CL 95 ٪ در شکل 2 نشان داده شده است که در آن اکثریت قریب به اتفاق ، 47 (~95 ٪) ، از نمونه CIS حاوی MT (∞) اما 3 (~5 ٪) از نمونه CI ها. براکت های SuperScript تعداد نمونه های مورد استفاده برای محاسبه آمار را نشان می دهد ، هنگامی که این تعداد است - آمار معادل پارامتر جمعیت است. به طور کلی ، تنها یک نمونه واحد از نتایج حاصل می شود ، اگرچه این نمونه واحد می تواند حاوی صدها شبیه سازی باشد ، بنابراین فقط یک CI در هر آمار مورد علاقه تولید می شود.

مثال 95 ٪ CLS برای پارامتر جمعیت MT (∞) برای 50 نمونه مختلف. چهل و هفت (جامد) CI حاوی پارامتر جمعیت و سه CI (متراکم) CI حاوی پارامتر جمعیت نیستند

توزیع نمونه برداری به عنوان میانگین MT (∞) و انحراف استاندارد SD/√N. فاصله حاوی نمونه مرکزی 100 (1 - α) نمونه نشان داده شده است

The calculation of the CI for certain parameters is straightforward due to the availability of standard expressions. For the MT, the CI with a 100(1 − α )% CL can be calculated using Eq. 3 where T −1 ( p , df ) is the inverse t-distribution for percentile p with df degrees of freedom [22]. This expression assumes that the population SD of the TETs is unknown, which is generally the case in egress models/experiments, and is estimated with the sample SD. If the original data is normally distributed, then the expression is valid for n>1. برای داده های توزیع نشده غیر عادی ، این عبارت به طور کلی به دلیل قضیه محدودیت مرکزی برای N بزرگتر معتبر است اما به ماهیت توزیع داده های اصلی بستگی دارد. برخی از منابع از حداقل N از 30 حمایت می کنند ، اگرچه برای داده های کم رنگ حداقل N از 40 [31] پیشنهاد شده است. علاوه بر این فرض بر این است که داده ها مستقل و یکسان توزیع می شوند.

در Eq3 ، CI به عنوان یک حد پایین و حد بالایی از مقدار پارامتر جمعیت ، به عنوان مثال نقل شده است. 150. 0 با CI 95 ٪ [135. 0 ، 165. 0]. CI همچنین می تواند به عنوان تفاوت بین محدودیت ها و آمار نمونه ، به عنوان مثال نقل شود. 150. 0 با CI 95 ٪ [ - 15. 0 ، + 15. 0]. این اختلافات همچنین می تواند به عنوان درصد نقل شود ، به عنوان مثال150. 0 با CI 95 ٪ [ - 10 ٪ ، + 10 ٪]. اگر CI متقارن باشد ، می توان آن را به صورت کوتاه با حد مجاز به علاوه منهای بیان کرد ، به عنوان مثال10 ± 150 ٪ (95 ٪ CI).

CI یک تجارت بین عرض آن است ، که در حالت ایده آل باید تا حد ممکن باریک باشد و CL آن ، که در حالت ایده آل باید تا حد ممکن باشد. در حالت ایده آل ، یک اعتماد به نفس 100 ٪ می خواهد ، اما این منجر به CI بی نهایت گسترده می شود که بسیار مفید نیست. برای آماری که از تعداد مشخصی از نقاط داده محاسبه می شود ، عرض CI با افزایش CL افزایش می یابد. داشتن یک CL بسیار بالا منجر به CI بسیار گسترده خواهد شد ، در حالی که یک CL "کم" با CI مربوط به باریک نیز بی فایده است زیرا اعتماد به نفس کمی وجود دارد که CI حاوی پارامتر مورد علاقه است. 95 ٪ CL به طور معمول انتخاب می شود زیرا به احتمال زیاد در حالی که دارای عرض نسبتاً باریک است ، پارامتر جمعیت را شامل می شود. هنگام محاسبه CI_MT(معادله 3) با CL های مختلف (جدول 1 را ببینید) ، 99 ٪ CL با اعتماد به نفس 4 ٪ اضافی کسب می کند اما در مقایسه با 95 ٪ CL نیاز به افزایش 33 ٪ در عرض CI دارد. 99. 9 ٪ CL بالاتر از 4. 9 ٪ اعتماد به نفس به دست می آورد اما در مقایسه با 95 ٪ CL نیاز به افزایش 71 ٪ در عرض CI دارد. با استفاده از 68 ٪ CL پایین تر (معادل عرض خطای 2 × استاندارد) عرض CI را 49 ٪ کاهش می دهد اما کاهش اعتماد به نفس 27 ٪ در مقایسه با 95 ٪ CL وجود دارد. از Eq3 ، عرض (W_MT) از CI_MTبا یک CL ثابت نیز با افزایش N ، باریک خواهد شد (به معادله 4 مراجعه کنید).

جدول 1 محاسبه عرض نسبی CIS برای میانگین مقدار (معادله 3) با افزایش CL برای اندازه نمونه 100

به منظور بحث بیشتر در مورد CIS ، لازم است توزیع نمونه برداری را توصیف کنید. توزیع نمونه برداری توزیع احتمال یک آمار برای اندازه نمونه ثابت برای تمام نمونه های ممکن است که می توانند انتخاب شوند [22]. به عنوان مثال ، مجموعه ای از پنج TET از آزمایشات مکرر بدست می آید و آمار علاقه میانگین آن TET ها است. اگر این مجموعه از پنج آزمایش تکرار شود ، می توان مجموعه دیگری از TET ها را بدست آورد و میانگین دیگر این مقادیر محاسبه می شود. هر بار که فرآیند تکرار می شود تخمین متفاوتی برای میانگین مقدار بدست می آید ، به جدول 2 مراجعه کنید.

اگر این امر می تواند تعداد بسیار زیادی از بارها تکرار شود ، می توان توزیع مقادیر میانگین نمونه ، یعنی توزیع نمونه برداری را تولید کرد. با فرض اینکه TET ها به طور معمول با یک جمعیت ناشناخته SD توزیع می شوند ، از نظر تئوری نشان داده شده است که توزیع نمونه برداری برای مثال می تواند با توزیع T نشان داده شود [22]. میانگین توزیع نمونه گیری برابر با مقدار مورد انتظار و میانگین جمعیت توزیع TET اصلی است. از قضیه حد مرکزی ، انحراف استاندارد توزیع نمونه برداری ، همچنین به عنوان خطای استاندارد شناخته می شود ، انحراف استاندارد توزیع TET اصلی تقسیم بر √ n است.

از این توزیع نمونه برداری ، فاصله ای که حاوی داخلی 100 (1 - α) از میانگین نمونه است می تواند توسط Eq توصیف شود. 5 (شکل 2 را ببینید).

معادله 5 به ویژه مفید نیست زیرا به طور کلی مقدار MT (n) شناخته شده است و MT (∞) ناشناخته است. با این حال ، Eq. 5 می تواند به صورت جبری مجدداً احیا شود [22] برای تبدیل شدن به MT (∞) موضوع نابرابری منجر به احتمال اینکه MT (∞) در یک CI با یک CL از 100 (1 - α) ٪ (معادله 6) قرار داشته باشد. واداین یک جمله احتمالی از CI است که در Eq آورده شده است. 3

برای برخی از آمار ، مانند میانگین مقدار (معادله 3) و مقدار صدک 95 [13] ، یک راه حل نظری برای تعیین CI وجود دارد. با این حال ، برای بسیاری از آمار ممکن است یک راه حل نظری وجود نداشته باشد یا به دست آوردن آن دشوار است. برای این موارد ، ممکن است استفاده از bootstrapping برای تقریبی توزیع نمونه گیری و از این رو CI را بدست آورید.

مفاهیم راه انداز

Bootstrapping [32،33،34،35،36] یک روش آماری محاسباتی است که به طور گسترده استفاده می شود. فرضیه بوت استریز این است که استنباط در مورد جمعیت از داده های نمونه می تواند با استفاده از مجدداً داده های نمونه و انجام استنتاج در مورد نمونه ای از داده های مجدداً مدل سازی شود. به طور کلی ، توزیع جمعیت ناشناخته است و فقط نمونه داده ها شناخته شده است. Bootstrapping از این نمونه از داده ها به عنوان تقریب توزیع جمعیت واقعی استفاده می کند. تکنیک bootstrapping برای بسیاری از برآوردگرها کاربرد دارد اگرچه مشکلات شناخته شده در ارتباط با مقدار معین وجود دارد [37]. همچنین هنگام استفاده از تکنیک در توزیع های سنگین به ویژه آنهایی که دارای واریانس بی نهایت هستند ، مراقبت لازم است [38 ، 39]. پیش بینی نمی شود مسئله اصلی در زمینه مدل سازی Egress باشد.

یک مثال ساده کار شده ، برای تعیین CI میانگین ، به شرح زیر است. در عمل ، بوت استرپ به طور کلی برای تعیین CI از یک مقدار متوسط به دلیل کاربرد گسترده Eq استفاده نمی شود. 3. هدف اصلی این مثال نشان دادن روش است. مجموعه ای از مقادیر n از برخی توزیع ناشناخته نمونه برداری شده و منجر به مجموعه مقادیر موجود در ردیف "اصلی" جدول 3 می شود. در این مثال ، n به پنج تنظیم شده است. این داده ها می توانند برای بدست آوردن گران باشند ، به عنوان مثالاینها می توانند از مجموعه ای از محاکمات خارج از خانه باشند. میانگین نمونه اصلی 139. 5 است. نمونه اصلی اکنون برای ایجاد نمونه بوت استرپ مجدداً مجدداً مورد استفاده قرار گرفته است که یک فرآیند بسیار ارزان است. هر مقدار در نمونه اصلی شانس انتخاب یکسان ، 1/ n است. مقادیر به طور تصادفی از نمونه اصلی n برای ایجاد یک نمونه bootstrap کپی می شوند (جدول 3 را ببینید). این بدان معنی است که یک مقدار خاص از نمونه اصلی ممکن است یک بار ، بیش از یک بار ، یا اصلاً در یک نمونه بوت استرپ ارائه شود. علاوه بر این ، فقط مقادیر نمونه اصلی را می توان در نمونه بوت استرپ نشان داد. به عنوان مثال ، می توان برای Bootstrap 1 مشاهده کرد که 99. 7 دو بار نشان داده شده است و 188. 5 به هیچ وجه نشان داده نمی شود و مقادیر دیگر یک بار یک بار نشان داده می شوند. هنگامی که مقادیر N انتخاب شده است ، میانگین مقدار نمونه bootstrap محاسبه می شود. این فرآیند بار b تکرار می شود ، جایی که b ≫ n ، برای ایجاد توزیع نمونه گیری بوت استرپ از میانگین (جدول 2). در این مثال B به 19 تنظیم شده است. این تعداد بسیار کمتری از نمونه های بوت استرپ از آنچه در عمل استفاده می شود اما در اینجا برای اهداف تظاهرات استفاده می شود.

CI ، با 90 ٪ CL (حداکثر CL که می تواند با 19 بوت استرپ نشان دهد) ، با گرفتن مقادیر صدک که محدود 90 ٪ توزیع نمونه برداری را که مقادیر صدک 5 و 95 است ، به دست می آورد. شاخص بوت استرپ B ، از بردار به معنای بوت استرپ صعودی سفارش داده شده ، نشان دهنده صدک (100 p) TH توسط Eq است. 7

این برابر با مقادیر 1 و 19 توزیع نمونه گیری بوت استرپ سفارش داده شده از میانگین است (جدول 4 را ببینید). Bootstrap 90 ٪ CI از میانگین [117. 1 ، 176. 0] است. با استفاده از محاسبه معمولی (معادله 3) CI 90 ٪ [108. 3 ، 170. 8] است. Bootstrap CI به ویژه نزدیک به رویکرد استاندارد نیست ، اگرچه با توجه به اندازه نمونه محدود و تعداد کمی از بوت استرپ ها غیر منطقی نیست. با افزایش N و B ، دقت این روش به طور قابل توجهی بهبود می یابد و از آنجا که از روشهای پیشرفته تر برای انتخاب صدک های مورد نیاز از توزیع نمونه گیری bootstrap استفاده می شود.

جدول 4 انتهای پایین و فوقانی توزیع نمونه گیری بوت استرپ سفارش داده شده از میانگین برای مثال کار شده

مثال فوق با استفاده از اندازه نمونه 100 مقدار و بوت استرپ های 1999 تکرار شد. در این حالت میانگین نمونه 156. 5 بود. بوت استرپ 90 ٪ CI ، [151. 1 ، 161. 5] ، تقریب خوبی به 90 ٪ CI تعیین شده (معادله 3) ، [151. 4 ، 161. 6] می دهد. توزیع نمونه گیری بوت استرپ میانگین برای این مورد به عنوان یک هیستوگرام در شکل 3 ارائه شده است. میانگین توزیع نمونه گیری بوت استرپ از نظر شکل به یک توزیع عادی مشابه است و توزیع نمونه گیری واقعی را تقریب می دهد.

هیستوگرام از بوت استرپ 1999 برای مثال کار شده. اندازه نمونه 100 بود

ساده ترین روش برای انتخاب یک CI محور با سطح اطمینان 100 (1 - α) این است که فرض کنید آن توسط نمونه های بوت استرپ صدک صد (1 - α/2) TH (1 - α/2) محدود شده است. این رویکردی است که برای مثال کار شده در بالا استفاده می شود. با این حال ، این رویکرد صدک ساده دو مشکل قابل توجه دارد. در مرحله اول ، هنگام استفاده از اندازه های نمونه "کوچک" ، CI های باریک تر از آنچه انتظار می رفت ، می دهد. ثانیا ، این به حساب و تعصب موجود در نمونه ها نمی پردازد.

برای اولین مشکل ، هستربرگ تصحیح را بر اساس توزیع عادی و توزیع T پیشنهاد داد [40]. این مبتنی بر تصحیح محدودیت صدک توزیع نمونه گیری بوت استرپ میانگین است."اصلاح شده" (100 ( حاد

)) صدک TH بر اساس صدک اصلی (100 p) صدک اندازه نمونه N توسط Eq آورده شده است. 8 ، جایی که φ (z) CDF عملکرد توزیع عادی استاندارد است. این تصحیح همیشه باعث می شود CI محافظه کارانه تر شود اما می تواند منجر به تصحیح بیش از حد یا اصلاح کافی صدک مورد نیاز وابسته به شکل واقعی اما ناشناخته توزیع نمونه برداری شود. در صورت تصحیح بیش از حد ، CI گسترده تر از آنچه باید باشد خواهد بود اما یک تخمین محافظه کارانه تر را نشان می دهد. اگر CI به اندازه کافی اصلاح نشده باشد ، حداقل برخی از اصلاحات در مقایسه با هیچ تصحیح اعمال می شود ، بنابراین احتمال پوشش CI به سطح اطمینان اسمی نزدیک می شود.

در جدول 5 تصحیح (معادله 8) اعمال شده برای صدک 5 برای اندازه های مختلف نمونه نشان داده شده است. تأثیر تصحیح برای N کوچک قابل توجه است اما با افزایش N کاهش می یابد.

برای دومین مشکل مرتبط با شکاف و تعصب احتمالی در نمونه ها ، تعدادی از روشهای پیشرفته راه اندازی راه انداز برای تعیین محدودیت های مناسب برای CI وجود دارد ، از جمله روش تعصب اصلاح شده و شتاب (BCA) [32 ، 33] ، ABC ، دانش آموز ،و بوت استرپ دوتایی [35]. بوت استرپ BCA به دلیل طیف گسترده ای از کاربرد آن [41] ، اجرای نسبتاً ساده آن و الزامات محاسباتی نسبتاً کم آن انتخاب شد.

BCA 100 (α/2) شاخص بوت استرپ صدک B را اصلاح کرد_lو 100 (1 - α/2) شاخص بوت استرپ صدک B_u، با در نظر گرفتن تصحیح اندازه نمونه کوچک (معادله 8) ، توسط Eqs ارائه شده است. به ترتیب 9 و 10 ، جایی که ( lfloor rfloor ) کف عدد صحیح است و ( lceil rceil ) سقف عدد صحیح x است. معادله 11 عامل تصحیح تعصب است که در آن φ −1 CDF معکوس توزیع عادی است ، θ آماری محاسبه شده است ، و ( theta _^) بوت استرپ توزیع θ * است. معادله 13 عامل شتاب حاصل از داده های نمونه اصلی است. CI_θ is [ ( heta_>>^) , ( heta_>>^)] که در آن ( theta _^) بوت استرپ توزیع شده از θ * است.