همبستگی پیرسون

تعریف: همبستگی پیرسون درجه و جهت رابطه خطی بین دو متغیر را اندازه گیری می کند.

نماد: همبستگی پیرسون با نامه r مشخص شده است.

از نظر مفهومی ، همبستگی پیرسون نسبت تنوع به اشتراک گذاشته شده توسط x و y به تغییر x و y به طور جداگانه است. فرمول مفهومی:

بیان شده در اصطلاحات آماری:

هنگامی که یک رابطه خطی کامل وجود دارد ، هر تغییر در متغیر X با یک تغییر مربوطه در متغیر Y همراه است. در این حالت ، تمام تغییرات در x با y به اشتراک گذاشته می شود ، بنابراین نسبت داده شده در بالا r = 1. 00 است. در حالت دیگر ، هنگامی که هیچ رابطه خطی بین x و y وجود ندارد ، پس شماره صفر است ، بنابراین r = 0. 00.

برای محاسبه همبستگی پیرسون ، لازم است یک مفهوم جدید معرفی شود: مجموع محصولات نمرات انحراف مربوطه برای دو متغیر. ما قبلاً یک مفهوم مشابه را مشاهده کرده ایم ، مجموع مربع های نمرات انحراف برای یک متغیر.

مجموع مربع ها ، که برای اندازه گیری میزان تغییرپذیری یک متغیر واحد استفاده می شود ، به این صورت تعریف شده است:

مجموع محصولات ، که برای اندازه گیری تنوع مشترک بین دو متغیر استفاده می شود ، به این صورت تعریف شده است:

توجه داشته باشید که این نام برای مجموع محصولات نمرات انحراف مربوطه برای دو متغیر کوتاه است.

برای محاسبه SP ، ابتدا نمرات انحراف را برای هر x و برای هر y تعیین می کنید ، سپس محصولات هر جفت نمرات انحراف را محاسبه می کنید ، و سپس (آخرین) محصولات را خلاصه می کنید.

همانطور که در بالا ذکر شد ، از نظر مفهومی ضریب همبستگی پیرسون ، نسبت متغیر بودن مشترک x و y ، به تغییرپذیری x و y به طور جداگانه است. این فرمول از SP به عنوان اندازه گیری متغیر بودن و ریشه مربع محصول SS برای X و SS برای Y به عنوان اندازه گیری تنوع جداگانه استفاده می کند. به این معنا که:

اگر نمرات داشته باشیم که به عنوان نمرات استاندارد بیان می شوند-نمودارهای Z با میانگین صفر و واریانس یک-آنگاه فرمول همبستگی پیرسون به ویژه ساده می شود. این است:

یکی از رایج ترین خطاهای ایجاد شده در تفسیر همبستگی ، فرض این است که یک همبستگی لزوماً دلالت بر یک رابطه علت و معلولی بین دو متغیر دارد. به سادگی بیان شده: همبستگی علیت نیست!

هنگامی که یک همبستگی از نمرات با محدوده محدود محاسبه می شود ، ضریب همبستگی پایین تر از آنچه در صورت محاسبه از نمرات با محدوده نامحدود محاسبه می شود.

این اتفاق می افتد وقتی که ما به همبستگی بین SAT و GPA در بین دانشجویان در این کلاس نگاه می کنیم ، زیرا ما فقط در حال دیدن آن دانش آموزانی هستیم که در UNC پذیرفته شده اند. کسانی که نمرات SAT کم دارند (که احتمالاً نمرات GPA بسیار کمی داشتند) پذیرفته نشدند. بنابراین ، ما یک محدوده محدود از نمرات SAT مشاهده شده و همبستگی کمتری داریم.

به عنوان مثال ، رابطه بین وزن خودرو و اسب بخار نشان داده شده در ScatterPlot زیر را در نظر بگیرید:

اگر ما در کشوری زندگی می کردیم که اتومبیل ها را بیش از 100 اسب بخار قدرت نداشته باشد ، داده ها مانند این قطع می شوند:

آنچه ما به عنوان رابطه می بینیم فقط بر اساس اتومبیل هایی با کمتر از 100 اسب بخار خواهد بود. خواهیم دید:

اکنون این همبستگی فقط 71/0 است ، نه . 92.

Outliers (که G& W آن را فراخوانی می کند ، به دلایلی ناشناخته ، Outriders) یک مشاهده فردی است که دارای مقادیر بسیار زیادی از x و y نسبت به سایر مقادیر x و y است. به عنوان مثال ، در این پراکندگی ارزش بازار بسیاری از شرکت هاترسیم شده در مقابل دارایی های آنها ، این واقعیت که IBM در مقایسه با هر شرکت دیگر بسیار بزرگ است ، رابطه این دو متغیر را با یکدیگر کاملاً مبهم می کند.

همبستگی این متغیرها 68/0 است که بسیار زیاد است. در حقیقت ، هنگام برداشتن IBM ، این همبستگی به 48/0 کاهش می یابد.

همبستگی پیرسون میزان رابطه بین دو متغیر را اندازه گیری می کند. با این حال ، این درصدی تعبیر نمی شود. از سوی دیگر:

ضریب همبستگی پیرسون معمولاً برای داده های نمونه محاسبه می شود. ما می خواهیم از همبستگی نمونه با یک ارزش برای همبستگی در جمعیت ، استنتاج کنیم. ما می توانیم از تکنیک های تست استنتاج استاندارد برای ایجاد این استنتاج استفاده کنیم.

سؤال اساسی پاسخ داده شده توسط روش آزمایش فرضیه برای ضریب همبستگی پیرسون این است که آیا با صفر تفاوت معنی داری دارد: یعنی ، آیا همبستگی غیر صفر در جمعیت وجود دارد یا خیر. در اینجا چهار مرحله آزمایش فرضیه استاندارد ، که توسط یک مرحله تجسم برای داده ها تقویت شده است:

این فرضیه ها مربوط به وجود همبستگی غیر صفر در جمعیت است یا خیر. ما یک فرضیه 1 دم داریم:

همچنین دو فرضیه 1 دم ممکن وجود دارد. در اینجا یکی از آنها وجود دارد:

سطح آلفا را انتخاب کنید. df = n-2 ، جایی که n تعداد جفت ها است.

• همبستگی MATHSAT/GPA 32/0 - 10 ٪ از واریانس GPA توسط MathSat توضیح داده شده است.
• همبستگی Verbalsat/GPA 47 است - 22 ٪ از واریانس GPA توسط Verbalsat توضیح داده شده است.
• به یاد داشته باشید که این همبستگی ها با محدودیت دامنه ضعیف شده است.
• اگر نمونه بزرگتر داشتیم و این مقادیر همبستگی تقریباً یکسان باقی می ماند ، آنها قابل توجه می شوند. با این حال ، اهمیت همه چیز نیست ، زیرا اندازه همبستگی به ما می گوید رابطه چقدر قوی است.

در اینجا دو پراکندگی آورده شده است:

• برای df = 35 بحرانی r = . 275.
• برای df = 40 بحرانی r = . 257. بدین ترتیب
• برای df = 39 بحرانی r = . 275 - (. 275 - . 257)*(4/5) = . 275 - . 014 = . 261

Vista می تواند پیرسون (و همچنین Spearman ، Point-Biserial یا Phi همبستگی) را محاسبه و گزارش دهد ، اما آزمایش اهمیت را برای ضرایب همبستگی محاسبه شده انجام نمی دهد.

• جمع آوری داده ها می توانید با انتخاب مورد داده های خلاصه منوی داده و سپس کلیک بر روی کادر بررسی ماتریس همبستگی ، گزارشی از همبستگی بین متغیرهای عددی فعال دریافت کنید. این گزارش حاوی ماتریس همبستگی است.
• Transform می توانید با انتخاب مورد همبستگی منوی Transform ، یک شیء داده حاوی همبستگی را محاسبه کنید. یک شیء داده حاوی یک ماتریس همبستگی بین متغیرهای عددی فعال ایجاد می شود.