چگونه می توانم یک سیستم معادلات خطی (قسمت 2) تنظیم کنم؟

رایج ترین اشتباهات در حل مشکلات با سیستم های معادلات خطی در تنظیم مشکل در وهله اول است. در مثال زیر ، توجه داشته باشید که چگونه متغیرها با دقت تعریف می شوند تا تفاوت بین مبلغ سرمایه گذاری شده از مبلغ بهره متمایز شود.

به عنوان مثال کاترین چونگ 10،000 دلار دریافت شده از مادربزرگش از سه روش سرمایه گذاری می کند. با یک قسمت ، او اوراق بهادار پس انداز ایالات متحده را با نرخ بهره 2. 5 ٪ در سال خریداری می کند. او از قسمت دوم استفاده می کند ، که این دو برابر دو برابر است ، برای خرید وجوه متقابل که بازده 6 ٪ در سال را ارائه می دهد. او بقیه پول را در یک حساب بازار پول قرار می دهد و 4. 5 ٪ سود سالانه را پرداخت می کند. سال اول سرمایه گذاری های وی بازگشت 470 دلار. او چقدر در هر راه سرمایه گذاری کرد؟

معادلات را بنویسید

برای هر مشکلی مانند این ، ما می خواهیم مشخص کنیم که متغیرها چیست و آنها چه چیزی را نشان می دهند. از آنجا که این سؤال پرسیده می شود ، "او چقدر در هر راه سرمایه گذاری کرده است؟" ، بگذارید تعریف کنیم

ب: مبلغ سرمایه گذاری شده در اوراق قرضه

ج: مبلغ سرمایه گذاری شده در صندوق های متقابل

م: مبلغ سرمایه گذاری شده در حساب بازار پول

این مبالغ چگونه با سایر کلیدهای مهم در این مشکل ارتباط دارد؟

در کل 10،000 دلار سرمایه گذاری شده است.

میزان سرمایه گذاری در صندوق های متقابل دو برابر است که در اوراق پس انداز سرمایه گذاری شده است.

بازده کل سرمایه گذاری 470 دلار است.

برای نوشتن سه معادله در سه متغیر باید از این سه واقعیت استفاده کنیم. بیایید به هر یک از سه واقعیت نگاه کنیم.

در کل 10،000 دلار سرمایه گذاری شده است

از آنجا که متغیرها مبلغ سرمایه گذاری شده را نشان می دهند ، این بیانیه به سادگی می گوید که مجموع متغیرها 10،000 یا

این نوع واقعیت معمولاً ساده ترین نوشتن به عنوان معادله است.

میزان سرمایه گذاری در صندوق های متقابل دو برابر است که در اوراق پس انداز سرمایه گذاری شده است

بیایید متغیرهای موجود در این جمله را شناسایی کنیم:

اگر اکنون این را به یک معادله ریاضی ترجمه کنیم ، می گیریم

بازده کل سرمایه گذاری 740 دلار است

برای محاسبه بازده سرمایه گذاری ، ما باید درصد بازده را به عنوان اعشاری از مبلغ سرمایه گذاری شده در آن درصد ضرب کنیم. به عنوان مثال ، اگر دلار B در اوراق بازگرداندن 2. 5 ٪ در سال سرمایه گذاری شود ، مبلغ برگشتی از آن سرمایه گذاری در یک سال 0. 025 B است. اگر این تفکر را برای هر سرمایه گذاری اعمال کنیم ، ما آن را دریافت می کنیم

اکنون که در سه ناشناخته سه معادله داریم ، اجازه دهید سیستم را بنویسیم:

معادله دوم را با کم کردن 2 B از هر دو طرف بازنویسی کنید:

برای متغیرها حل کنید

ما این سیستم را حل می کنیم تا به نظر برسد

جایی که ؟؟اعداد مختلف هستندبرای این شکل ، ما از عملیات ردیف استفاده خواهیم کرد. ما با اطمینان از ضریب B در B در معادله اول یک 1. شروع خواهیم کرد. از آنجا که این است ، ما نیازی به استفاده از یک عمل ردیف برای انجام این کار نداریم.

اکنون B را از معادلات دوم و سوم با استفاده از معادله اول حذف خواهیم کرد. از عملیات استفاده کنید

بیایید اولین مورد را با دقت بررسی کنیم:

اکنون عملیات دوم

نوشتن عملیات باعث می شود که آنها بعداً بررسی شوند. بازنویسی سیستم پس از این عملیات ما را ترک می کند

توجه داشته باشید که معادله اول دارای 1 در مقابل متغیر اول است و همان متغیر از سایر معادلات حذف شده است.

حال بیایید ضریب متغیر دوم را در معادله دوم برابر با 1 با استفاده از ⅓E2 → E2 ایجاد کنیم. سیستم اکنون است

برای از بین بردن F از معادله سوم ، انجام -. 035E2 + E3 → E3 را انجام دهید. انجام این عملیات به ما می دهد

اکنون بیایید F را از اولین معادله ب ا-1e2 + E1 → E1 حذف کنیم. اکنون سیستم است

توجه کنید که این چند مرحله آخر 1 را در مقابل متغیر دوم در معادله دوم قرار داده و F را در معادلات دیگر از بین می برد.

آخرین مرحله برای قرار دادن سیستم به شکل Echelon ، ایجاد ضریب در متغیر سوم در معادله سوم A 1. برای انجام این کار ، -300E3 → E3 است. پس از ضرب آخرین معادله ، ما داریم

حالا بیایید M را از معادله اول و دوم حذف کنیم ،

این بدان معنی است که 2000 دلار باید در اوراق قرضه ، 4000 دلار در صندوق های متقابل و 4000 دلار در حساب بازار پول سرمایه گذاری شود. همانطور که باید ، مبالغ به 10،000 دلار اضافه می شود و دو برابر وجوه متقابل اوراق قرضه وجود دارد. کل بازده سالانه است

راه حل تمام الزامات مسئله را برآورده می کند ، بنابراین باید صحیح باشد (مگر اینکه ما آن الزامات را تفسیر کنیم).

توجه داشته باشید که ما می توانیم سیستم اصلی را با ماتریس نیز حل کنیم و در پایان با همان راه حل.

اگر مشکل چیزی شبیه به آن گفته بود چه می شود

بازده صندوق های متقابل دو برابر بازده اوراق بهادار پس انداز است.

میزان سرمایه گذاری در صندوق های متقابل دو برابر است که در اوراق پس انداز سرمایه گذاری شده است

مشکل ما در بالا به مبالغ سرمایه گذاری شده پرداخته است ... این عبارت جدید نشانگر رابطه بین بازده است. نرخ صندوق های متقابل 6 ٪ است بنابراین بازده 0. 06 درجه فارنهایت خواهد بود. نرخ اوراق قرضه 2. 5 ٪ است بنابراین بازده 0. 025 b خواهد بود. سپس این اطلاعات به صورت معادله نوشته شده است

در این حالت ، این جایگزین معادله دوم در سیستم می شود.

حق چاپ و مجوز

حساب کاربردی و کتابهای ریاضی محدود توسط آموزش پیرسون کپی رایت شده است. شما می توانید از این کتابهای الکترونیکی استفاده کنید ، اما بدون اجازه آنها را تغییر ندهید. برای سایر بخش های این سایت ، وبلاگ Math-faq.com توسط دیوید گراسر تحت مجوز بین المللی Creative Commons Attribution 4. 0 مجوز دارد. بر اساس یک کار در Math-faq.com.