موقعیت محوری

ما آن را با تغییر ردیف های دوم و سوم به موقعیت محوری منتقل می کنیم.

اصطلاحات مرتبط:

• حذف گاوسی
• ماتریس افزوده
• روش جیکوبی
• محوری جزئی
• ردیف محوری
• خطای دور

زنگوله اطلاعات

درباره این صفحه

شرط بندی مشکلات و ثبات الگوریتم ها

10. 1 چرا ما به جبر خطی عددی احتیاج داریم؟

ما مفاهیم اساسی را در جبر خطی مطالعه کرده ایم. ما می دانیم که چگونه می توان سیستم های خطی را با استفاده از حذف گاوسی ، نحوه یافتن مقادیر ویژه و ویژه ای حل کرد ، و اینکه ماتریس های متعامد مهم هستند. ما با زیر مجموعه ها ، استقلال خطی و رتبه ماتریس آشنا هستیم. بنابراین چرا برای ما لازم است که جبر خطی عددی را مطالعه کنیم و چیست؟در این فصل برخی از پاسخ ها ارائه شده است. اجرای یک الگوریتم و پذیرش نتایج کافی نیست و ما این را از مطالعه ما در مورد حسابی نقطه شناور در فصل 8 می دانیم. یک کامپیوتر حساب دقیق نقطه شناور را انجام نمی دهد و این حتی می تواند باعث ایجاد الگوریتم با افتخار زمان شود. یک مثال خوب استفاده از معادله درجه دوم در فرم استاندارد آن است و خطاهای بسیار جدی لغو را متحمل می شود. فصل 9 مفهوم الگوریتم و بازده الگوریتم را معرفی می کند. فرض کنید شما برای حل این مسئله مشکلی دارید که شامل ماتریس است و برای دستیابی به راه حل باید از رایانه استفاده شود. ممکن است از بین تعدادی از الگوریتم های رقیب با انتخابی روبرو شوید. در این حالت ، شما باید کارآیی را در نظر بگیرید که یکی از جنبه های آن تعداد فلاپ است. درک موضوعات از کارآیی الگوریتم یکی از جنبه های جبر خطی عددی است که آن را از جبر خطی نظری جدا می کند. خواهیم دید که الگوریتم های خاص نسبت به سایرین مستعد رفتار بد از خطای دور هستند و ما باید از استفاده از آنها خودداری کنیم. همچنین ، الگوریتمی که به طور معمول بسیار مؤثر است ، ممکن است برای داده های خاص نتایج خوبی نداشته باشد ، و این منجر به موضوع تهویه می شود ، به ویژه که شامل ماتریس ها است. به طور خلاصه ، جبر خطی عددی مطالعه چگونگی حل دقیق و کارآمد مشکلات جبر خطی در یک رایانه است. در اینجا چند نمونه کلاسیک وجود دارد که موضوعات را نشان می دهد.

با استفاده از حذف گاوسی برای حل یک سیستم Nonsingular N × N سیستم AX = b. فصل 2 در مورد حذف گاوسی بحث می کند. در طی فرایند ، اگر 0 در موقعیت محوری روبرو شود ، یک تبادل ردیف مشکل را حل می کند. همانطور که در فصل 11 خواهیم دید ، حذف گاوسی می تواند بسیار ضعیف عمل کند مگر اینکه ما تبادل ردیف را در الگوریتم وارد کنیم تا محوری A_iiعنصر بزرگترین ارزش مطلق در بین عناصر است_ki>، k ≤ i ≤ n.

برخورد با سیستم های m × n ، m ≠ n. یک دوره جبر خطی نظری نشان می دهد که سیستم AX = B ، جایی که x یک بردار N × 1 و B M × 1 است ، تعداد نامحدودی از راه حل ها یا هیچ کدام را دارند. این کار با تبدیل A به آنچه نامیده می شود فرم ECHELON ROW CRESTIVES است انجام می شود. در جبر خطی عددی ، سیستم هایی مانند این مشکلات حداقل مربعات ایجاد می شوند. در شرایط مناسب ، یک راه حل منحصر به فرد وجود دارد که الزام آن را برآورده می کند ║ b - ax║₂حداقل استبسیار به ندرت AX = b را انجام می دهد.

حل یک سیستم جبری خطی با استفاده از قانون کرامر. ما قانون کرامر را در قضیه 4. 6 ارائه دادیم و ذکر کردیم که در درجه اول برای اهداف نظری در نظر گرفته شده است. در عمل ، حل سیستم های مربع با اندازه بیشتر از یا برابر با 50 × 50 ضروری است. استفاده از قانون کرامر برای یک ماتریس 50 50 50 شامل محاسبه 51 عوامل تعیین کننده ماتریس 50 50 است. اگر برای هر تعیین کننده از گسترش توسط افراد زیر سن قانونی استفاده کنیم ، برای حل سیستم نیاز به ارزیابی 51 (50!) 66 × 10 66 است. هر جابجایی به 49 ضرب نیاز دارد. فرض کنید یک ابر رایانه می تواند 1015 flops/s را اجرا کند. تعداد ثانیه های لازم برای انجام ضرب

51 50! 49 10 15 S ≃ 2. 4 × 10 45 سال ها!

محاسبه راه حل به یک سیستم خطی AX = B با اولین بار پیدا کردن - 1 و سپس محاسبه x = a - 1 b. در صورت حل یک سیستم AX = b ، محاسبه A - 1 عملیات بیشتری را نسبت به استفاده از حذف گاوسی انجام می دهد. اما ، آیا یافتن یک - 1 در صورت راه حل برای تبر چندین سیستم مؤثر است_i = b_i، 1 ≤ i ≤ k لازم است؟راه حل ها x هستند_i= a - 1 b_i، بنابراین فقط محصولات وکتور k ماتریس باید محاسبه شوند. می توان نشان داد که محاسبه یک- 1 برای حل مشکل ، به چهار (4) برابر بیشتر از فلاپ ها نیاز دارد زیرا استفاده از حذف گاوسی برای فاکتور A به محصول ماتریس پایین تر و یک مثلثی بالا و سپس استفاده از تعویض رو به جلو و عقب برایهر یک از سیستم های Kهمچنین این مورد است که برخی از معکوس ها برای محاسبه دقیق بسیار سخت هستند و استفاده از یک - 1 نتایج بسیار ضعیفی می دهد.

محاسبه مقادیر ویژه یک ماتریس با یافتن ریشه های چند جمله ای مشخصه آن. الگوریتم های دیرینه برای یافتن ریشه های یک چند جمله ای وجود دارد ، اما به یاد داشته باشید که ضرایب چند جمله ای مشخصه احتمالاً با خطای دور هم خراب می شود. بخش 10. 3. 1 نشان می دهد که حتی یک تغییر جزئی در یک یا چند ضرایب یک چند جمله ای می تواند باعث ایجاد تغییرات زیادی در ریشه های آن شود. اگر چنین چند جمله ای چند جمله ای مشخصه برای ماتریس باشد ، محاسبه مقادیر ویژه می تواند فاجعه بار باشد. این روش برای محاسبه مقادیر ویژه نباید استفاده شود.

پیدا کردن مقادیر مفرد یک ماتریس A با محاسبه مقادیر ویژه یک t A. در محاسبه مقادیر مفرد با یافتن مقادیر ویژه یک t ، خطاهای معرفی شده توسط ضرب ماتریس ، و به دنبال آن خطاها در محاسبه مقادیر ویژه ممکن است قابل توجه باشند. ما در فصل 15 نشان خواهیم داد که رتبه یک ماتریس برابر با تعداد مقادیر مفرد غیرزرو آن است. مثال را در Ref در نظر بگیرید.[25]

a = 1 μ 0 1 0 μ ، جایی که μ2= 0 ، و رتبه محاسبه شده A 1. با استفاده از حسابی دقیق ، a t a = 1 + μ 2 1 1 1 + μ 2 ، و مقادیر مفرد A هستند σ 1 = 2 + μ 2 ، σ 2 = μ.

رتبه واقعی A 2 است. با محاسبه یک T A ، اصطلاح μ 2 وارد محاسبات شد و باعث ایجاد خطای دور FL (1 + μ 2) شد = 1. matlab با استفاده از 64 بیت ، حسابی را می کند. بیانیه ها مشکل را نشان می دهد.

>>MU = SQRT (EPS) ؛

>>رتبه (الف)

جواب =

>>EIG (ب)

جواب =

>>رتبه (ب)