ساختار نوسانات ضمنی در بازارهای آشفته و حافظه بلند

ما مدلهای نوسانات تصادفی کسری را در نظر می گیریم که مدل کلاسیک سیاه و سفید را برای قیمت دارایی گسترش می دهد. این مدل ها به طور کلی و با انگیزه نتایج تجربی اخیر در مورد رفتار نوسانات تحقق یافته ایجاد می شوند. در حالی که چنین مدلهایی املاک semimartingale را برای قیمت دارایی حفظ می کنند ، مشکل قیمت گذاری گزینه اروپایی مرتبط پیچیده می شود ، بدون راه حل صریح. در تعدادی از رژیم های مقیاس گذاری متعارف ، با این وجود ، می توان بازنمودهای بدون علامت و پراکنده را برای قیمت گزینه و نوسانات ضمنی مرتبط ، که توسط چند پارامتر مؤثر پارامتر می شوند و شامل وابستگی های قانون قدرت به موقع به بلوغ می شوند ، بدست آورید. این پارامترهای مؤثر ممکن است به روشی پیچیده به مدل نوسانات بستگی داشته باشد ، اما می توان آنها را از مشاهده چند قیمت گزینه به راحتی تخمین زد. پارامترهای مؤثر مرتبط با یک دارایی اساسی خاص را می توان با توجه به قراردادهای مایع که بر روی این دارایی نوشته شده است کالیبره شود و سپس برای قیمت گذاری قراردادهای مایع کمتری که بر روی همان دارایی اساسی نوشته شده است استفاده شود. بنابراین ، پارامترهای مؤثر پیوند قوی بین محصولات مالی که بر روی یک دارایی اساسی خاص نوشته شده است ، فراهم می کند.

1. معرفی

در چارچوب مدل سازی کلاسیک سیاه و سیاه و سفید ، قیمت دارایی دارای بازده مستقل گاوسی و نوسانات ثابت است (نگاه کنید به [1]). با این حال ، قیمت گزینه های اروپایی پیش بینی شده توسط این مدل ایده آل ، اغلب قیمت های گزینه های معامله شده در بازار را ضبط نمی کند. این اختلاف به طور معمول با نوسانات ضمنی پارامتر می شود ، یعنی نوساناتی که باید در فرمول قیمت گذاری سیاه و اسکولز برای تکرار قیمت گزینه های معامله شده در بازار استفاده شود. نوسانات ضمنی سپس تابعی از پارامترهای قرارداد ، بلوغ و اعتصاب در مورد گزینه های اروپایی است ، در حالی که در وضعیت ایده آل سیاه و سیاه و سفید ، نوسانات ضمنی باید ثابت باشد. در حقیقت ، نوسانات ضمنی که از داده های قیمت گذاری گزینه گذشته کالیبره شده است می تواند به عنوان یک پروکسی برای قیمت ها دیده شود و در قیمت گذاری گزینه های فردا استفاده شود. این برخلاف رویکردی است که کالیبراسیون مدل دارایی زیرین ، به ویژه نوسانات آن برای گزینه های قیمت استفاده می شود.

به منظور انجام یک کالیبراسیون قوی ، مطلوب است که یک مدل خوب برای نوسانات ضمنی داشته باشد ، مدلی که به نوعی جوهر چگونگی رانندگی و تعدیل قیمت گزینه را ضبط می کند. مدل های نوسانات تصادفی در توضیح رفتار نوسانات ضمنی بسیار موفق بوده اند. در اینجا نوسانات فرآیند قیمت دارایی زیرین به عنوان یک فرآیند تصادفی مدل می شود ، که منجر به شکل خاصی برای نوسانات ضمنی می شود. برای پیش زمینه در مدل های نوسانات تصادفی ، ما به کتاب ها و نظرسنجی ها [1-6] و منابع موجود در آن اشاره می کنیم. شکل نوسانات ضمنی فقط برای برخی از کلاسهای خاص مدل های نوسانات تصادفی ، به ویژه مدل هستون [7] صریح است. مشاهده شده است که مدل Heston [7] همیشه مناسب مشاهدات نیست. بنابراین ، مدل های دیگر در ادبیات معرفی شده اند ، مدلهایی که در آن هیچ بیان صریح برای نوسانات ضمنی وجود ندارد. به همین دلیل است که استفاده از تکنیک های بدون علامت برای به دست آوردن عبارات صریح که نوسانات ضمنی در رژیم های پارامتر خاص را تقریب می دهد ، همانطور که توسط فوک و همکاران توضیح داده شده است.[1]ایده اصلی شناسایی مجموعه ای از رژیم های مقیاس بندی متعارف است که در آن می توان از تکنیک های بدون علامت برای تعیین تقریب قیمت گزینه های دقیق استفاده کرد و مدل های پارامتری پارامتری را برای نوسانات ضمنی نشان داد. برآورد پارامترها از قیمت گزینه های بازاریابی در بازار ممکن و قوی است. بسیاری از ادبیات مربوط به نوسانات تصادفی بر موقعیت هایی متمرکز شده است که فرآیند نوسانات یک فرآیند مارکوف است ، به طور معمول نوعی فرآیند انتشار پرش. با این حال ، تعدادی از مطالعات تجربی مانند گاترال و همکاران.[8] نشان می دهد که فرآیند نوسانات دارای همبستگی قدرت قانون است که نسبتاً آهسته در مقایسه با نرخ نمایی مدل های مارکوف فروپاشی می کنند. در اینجا ما یک چارچوب کلی برای مدل سازی فرآیندهای غیر مارکف ایجاد می کنیم و از آن در زمینه نوسانات تصادفی استفاده می کنیم. این چارچوب کلی برای مدل سازی فرآیندهای تصادفی غیر مارکف بر اساس فرمولاسیون فرآیند Volterra کسری است. توزیع تکامل آینده چنین فرآیند غیر مارکف را نمی توان توصیف کرد که فقط با دانستن ارزش فعلی فرآیند ، تاریخ گذشته فرایند نیز لازم است و ما می گوییم که این روند دارای حافظه است.

رژیم های اصلی بدون علامت در نظر گرفته شده در اینجا مواردی هستند که (1) انحراف استاندارد از نوسانات ثابت نوسانات تصادفی به همان ترتیب متوسط است ، (2) زمان بلوغ به همان ترتیب زمان انتشار است ،و (3) میانگین زمان برگشت نوسانات تصادفی یا کوتاه تر یا طولانی تر از زمان انتشار است. بنابراین ، ما در این مقاله به رژیم های میانگین برگشت سریع و آهسته می پردازیم. در اینجا زمان انتشار به مقیاس زمان تکامل طبیعی قیمت دارایی اشاره دارد (می توان آن را به عنوان متقابل نوسانات مؤثر مربع تعریف کرد). در این رژیم ها بیان پیشرو سطح نوسانات ضمنی در پول ورود به سیستم خطی است و پول آن گزینه اعتصاب گزینه نسبت به ارزش دارایی فعلی است. این ممکن است از نظر اتصالات تا حدودی محدود کننده به نظر برسد زیرا می توان در بازارهای خاص یک چاشنی قوی وارد ورود به سیستم مشاهده کرد. این برای بازار سهام مشاهده شده است ، اما کمتر برای بازارهای دیگر مانند بازارهای درآمد ثابت. با این حال ، اگر کسی تقریب های مرتبه بالاتر را در نظر بگیرد ، چارچوب ما اثرات چسبناک قوی ایجاد می کند. تعدادی دیگر از موضوعات مدل سازی مانند هزینه های معاملات ، گسترش پیشنهادات ، نرخ بهره ، قیمت بازار ریسک و مشکلات نقدینگی نیز ممکن است بر شکل پوستی تأثیر بگذارد ، اما در اینجا مورد توجه قرار نمی گیرد. مدل نوسانات کسری که ما در اینجا بیان کردیم ، "حقایق تلطیف شده" تجربی ، مانند دمهای سنگین بازده ، خوشه بندی نوسانات و میانگین برگشت ، پایداری نوسانات را که از دیدگاههای تجربی مشاهده می شود ، شامل می شود [9]. علاوه بر این ، ما اثر اهرم را درج می کنیم ، که اصطلاحی است که توسط Black [10] با اشاره به حرکات قیمت سهام که با همبستگی (به طور معمول منفی) با نوسانات ارتباط دارند ، ایجاد می شود ، زیرا کاهش قیمت سهام ممکن است حاکی از عدم اطمینان بیشتر و از این رو نوسانات بیشتر باشد. ما در اینجا به دنبال این هستیم که به این سؤال پاسخ دهیم که چه اشکال پارامتری برای نوسانات تصادفی و برد کوتاه و کوتاه نوسانات یک نوسانات تصادفی ایجاد می کند و از تکنیک های بدون علامت برای این کار استفاده می کنیم. در اینجا نوسانات کوتاه مدت به موقعیت هایی اشاره دارد که مسیر نوسانات سخت تر از مورد مارکوویان است در حالی که دوربرد به موقعیت هایی اشاره دارد که نوسانات نرم تر از مورد مارکووی است. چنین توضیحی در زمینه کالیبراسیون و پیوند قراردادهای مالی نوشته شده بر روی همان دارایی اساسی از طریق کالیبراسیون قراردادهای مایع با توجه به نوسانات ضمنی مفید است. اینجا،

ما فقط یک قطعه از این چالش را در نظر می گیریم که شامل توصیف سطح نوسانات ضمنی برای نوسانات تصادفی با برد طولانی و کوتاه است. یک پیش فرض اساسی این است که ساخت یک فرم پارامتری برای نوسانات ضمنی که از یک نوسانات تصادفی ناشی می شود و یک فرآیند ثابت است به طراحی یک طرح که زمان سازگار و قوی است کمک می کند. علاوه بر این ، این درجات مناسب آزادی و چارچوبی برای پیوند محصولات مالی را فراهم می کند. مدل های نوسانات تصادفی طولانی و کوتاه مدت در واقع به راحتی قابل استفاده هستند ، با این حال ، تجزیه و تحلیل آنها کاملاً چالش برانگیز است. این از این واقعیت ناشی می شود که فرایند نوسانات نه یک فرآیند مارکوف و نه یک semimartingale است. با این حال ، روند قیمت هنوز یک semimartingale است و فرمول مشکل مستلزم داوری نیست همانطور که توسط مندز و همکاران نشان داده شده است.[11]

ما یک چارچوب کلی برای مدل سازی با فرآیندهای کسری کوتاه و دوربرد و کاربرد این در قیمت گذاری گزینه بدون علامت را در نظر می گیریم. این کار بر اساس کار Gaier و Sølna [12-14] با گسترش نتایج حاصل از فرآیندهای کسری Ostei n-Uhlenbeck به فرآیندهای عمومی Volterra ساخته شده است. چنین چارچوبی همچنین در زمینه ساخت و ساز بهینه نمونه کارها توسط Fouque و Hu [15-17] و در محافظت از گارنیر و سولنا استفاده شده است [18]. در این مقالات زمان تا بلوغ به همان ترتیب زمان انتشار مشخصه است. مورد بدون علامت نوسانات کوچک در مورد ثابت در گارنیه و سولنا مورد بحث قرار می گیرد [12] در حالی که در اینجا تمرکز بر روی مجانب مرتبط با جداسازی مقیاس های زمانی است.

طرح کلی مقاله به شرح زیر میباشد. ما با بررسی برخی از ادبیات مربوطه در بخش 2 شروع می کنیم. سپس ، در بخش 3 مدل نوسانات تصادفی Volterra Condital را معرفی می کنیم و در مورد خواص اتوکواریانس این مدل برای سه کلاس (ST) ، (ROH) و (LOH) بحث می کنیم.). سپس ما سه مقیاس زمانی مهم را معرفی می کنیم ، نوسانات میانگین زمان برگشت ، زمان انتشار و زمان بلوغ در بخش 4 است. ما از جداسازی این مقیاس های زمانی سوء استفاده می کنیم تا عبارات بدون علامت را برای قیمت های گزینه به دست آوریم و در بخش های 5 نوسانات دلالت می کنیم. 6. ما در مورد برخی از موضوعات کالیبراسیون در بخش 7 بحث می کنیم و با نتیجه گیری در بخش 8 به پایان می رسیم.

2. بررسی ادبیات در مدل های نوسانات تصادفی غیر مارکف

بسیاری از ادبیات مربوط به نوسانات تصادفی بر موقعیت هایی متمرکز شده است که فرآیند نوسانات یک فرآیند مارکوف است ، به طور معمول نوعی فرآیند انتشار پرش. بر اساس ساختارهای مشاهده شده بازده و سطح نوسانات ضمنی [19 ، 20] ادعا می کند که قیمت دارایی باید یک فرآیند پرش باشد. مدل هایی با پرش قیمت دارایی و مدل های نوسانات تصادفی هر دو منجر به بازده سنگین می شوند و برای گرفتن دینامیک لبخند نیز مورد استفاده قرار می گیرند. چنین رفتارهایی همچنین توسط مدلهای هدایت شده توسط فرآیندهای ژنرال لوی ، هم برای مدل های نوسانات مانند Figueroa [21] و Mijatovic و Tankov [22] و همچنین برای قیمت دارایی مانند Badorff-Nielsen و همکاران تولید می شود.[23]. با این حال ، تعدادی از مطالعات تجربی اخیر نشان می دهد که فرایند نوسانات دارای وابستگی طولانی و/یا کوتاه مدت است و غیر ماکوویان است. مدل های نوسانات تصادفی با حافظه اخیراً توجه زیادی را به خود جلب کرده اند و این کار تا حدودی با تجزیه و تحلیل نوسانات قیمت های تاریخی و بخشی از ساختار نوسانات ضمنی همانطور که توسط Breidt و همکاران گزارش شده است ، انگیزه می یابد.[24] ، Charfeddine [25] ، Chronopoulou و Viens [26] ، گاترال و همکاران.[8] ، و اوه و همکاران.[27] به عنوان مثال.مدل کلاسیک برای فرآیندهای حافظه ، حرکت کسری براونیان (FBM) است که توسط ماندلبروت و ون نس معرفی شده است [28]. این یک تعمیم یک پارامتر از حرکت استاندارد براون است. پارامتر مشخص شده این فرآیند ، شاخص Hurst H ∈ (0 ، 1) است. فرآیند FBM مسیرهایی دارد که تقریباً مطمئناً هولدر با Exponent γ برای هر γ مداوم است

1/2 افزایش مثبت می دهد. چنین فرایندی به عنوان یک فرآیند دوربرد یا کسری پایدار یا کسری گفته می شود. همبستگی افزایش پوسیدگی FBM به عنوان Δ T 2 H −2 به عنوان تابعی از جداسازی Δ T بین افزایش ، به طوری که عملکرد همبستگی فرآیند افزایش در مورد دوربرد یکپارچه نیست. این برخلاف مورد با یک فرآیند مارکوف است که همبستگی آنها با نرخ نمایی فروپاشی می شود. در زیر خواهیم دید که موارد مداوم و ضد مداوم ساختارهای کیفی متفاوتی را برای نوسانات ضمنی می بخشد. توجه داشته باشید که مورد H = 1/2 مربوط به حرکت استاندارد براونین است که افزایش پی در پی آنها مستقل است و یک فرایند مارکوف را ارائه می دهد. در اینجا ما از یک کلاس کلی از مدل های کوتاه مدت یا دوربرد Volterra استفاده می کنیم که با حرکت استاندارد براون هدایت می شود. نوسانات تصادفی به خودی خود به عنوان یک عملکرد صاف از فرآیند Volterra مدل می شود. در واقع این فرایند با توزیع فرآیند با توجه به تغییر زمان ، ثابت خواهد بود. به عنوان یک مورد خاص ، ما در مورد یک فرآیند کسری Ostei n-Uhlenbeck که توسط حرکت قهوه ای کسری بر روی نوع معرفی شده توسط Mandelbrot و Van Ness [28] (نوع I FBM) انجام می شود ، بحث می کنیم. حرکت قهوه ای کسری بر روی ℝ + همچنین می تواند از طریق نمای متوسط در حال حرکت حرکت براون در ℝ + (نوع II FBM) ساخته شود ، همانطور که به عنوان مثال در Biagini و همکاران شرح داده شده است.[29]هنگام الگوبرداری از نوسانات در زمینه مالی ، استفاده از یک فرآیند رانندگی مهم است که افزایش آن "حافظه" باشد و به همین دلیل است که ما از نمایندگی FBM Mandelbrot و Van Ness استفاده می کنیم [28].<1/2, which is the point of view set forth in Gatheral et al. [8]. However, empirical findings of long-range dependence structure have also been reported, for instance in Chronopoulou and Viens [26]. Long-range volatility situations have been reported for currencies in Walther et al. [34], for commodities in Charfeddine [25] and for equity index in Chia et al. [35], while analysis of electricity markets data typically gives H <1/2 as in Beedsen [36], Rypdal and Lovsletten [37], and Simonsen [38]. Both the short- and long-range fractional behaviors can be observed depending on the specific market and regime and they are, therefore, important.

علاقه زیادی به مدل سازی و تجزیه و تحلیل نوسانات تصادفی کسری در سالهای اخیر وجود داشته است. کامت و همکاران.[30] یک برنامه حافظه طولانی از مدل قیمت گذاری Heston [7] را در نظر بگیرید ، یک فرآیند ریشه مربع یکپارچه یکپارچه که یک تعمیم کار اولیه توسط کامت و رنو است [31]. نتایج بیشتر در مورد مدل Heston کسری به عنوان مثال توسط El Euch و Rosenbaum [32] و Gueoun و همکاران یافت می شود.[33] ، جایی که مجانب کوتاه و طولانی مدت به بلوغ با استفاده از اصول انحراف بزرگ مورد مطالعه قرار می گیرد. در مورد مارکوف ، نوسانات مربع یکپارچه به میانگین مقدار آن از نظر نمایی سریع همگرا می شود و این باعث می شود ساختار اصطلاح نوسانات ضمنی باشد. در کامت و همکاران.[30] ، مورد بحث قرار می گیرد که چگونه وابستگی دوربرد توضیحی را برای مشاهدات ساختار اصطلاح غیر مسطح در رژیم طولانی مدت به بلوغ ارائه می دهد زیرا وابستگی دوربرد می تواند لبخند نوسانات ضمنی را به شدت وابسته به بلوغ و همچنین می تواندلبخندهای سازگار را برای مدت کوتاهی به بلوغ تولید کنید. ممکن است استدلال شود که مورد معمولی برای نوسانات تصادفی ، مورد خشن کسری با H است

در مقالات قبلی زمان رسیدن به بلوغ از همان مرتبه RAS زمان انتشار مشخصه (متقابل نوسانات مؤثر مربع) است. تعداد زیادی از مقالات اخیر تقریب های بدون علامت را در رژیم کوتاه مدت تا بلوغ در نظر می گیرند. در آلس و همکاران.[39] ، نویسندگان از محاسبه Malliavin برای تجزیه قیمت گزینه به عنوان مجموع فرمول کلاسیک سیاه و سفید با پارامتر نوسانات برابر با میانگین میانگین مربعات ریشه ای از نوسانات آینده به علاوه یک اصطلاح به دلیل همبستگی و اصطلاح ناشی از همبستگی استفاده می کنند. نوسانات نوسانات. مدل آنها یک نسخه کسری از مدل Bates [40] است. آنها دریافتند که نوسانات ضمنی در مورد وابسته به دوربرد در حد کوتاه مدت به بلوغ مسطح می شود. ما در بخش 6. 1 به این نتیجه ارتباط برقرار می کنیم. فورد و ژانگ [41] از تئوری انحراف بزرگ برای تعیین زمان کوتاه برای بلوغ بدون علامت نوسانات ضمنی استفاده می کنند. آنها پرونده همبستگی را با اهرم در نظر می گیرند و نتایج را به دست می آورند که با نتایج موجود در Alòs و همکاران سازگار است.[39]آنها مدلهای نوسانات تصادفی را بر اساس FBMS در نظر می گیرند که توسط تئوری مسیر خشن مورد تجزیه و تحلیل قرار می گیرند. آنها همچنین برای برخی از فرآیندهای کسری ، مدت زمان طولانی را به بلوغ در نظر می گیرند. زمان کوچک تا بلوغ نتایج بدون علامت توسط Chronopoulou و Viens [42] و Gulisashvili [43] ارائه شده است. یکی دیگر از رژیم های مهم بدون علامت مربوط به نوسانات نوسانات کوچک است. Fukasawa [44] این وضعیت را در نظر می گیرد و در مورد تأثیر وابستگی دوربرد بر نوسانات ضمنی بحث می کند. او از یک FBM غیر ثابت به عنوان فاکتور نوسانات استفاده می کند به طوری که سطح نوسانات ضمنی پیشرو تنها با شرط فعلی فاکتور نوسانات ضمنی مشخص می شود. در اینجا ما یک مدل ثابت را در نظر می گیریم به طوری که سطح به طور کلی به مسیر فاکتور نوسانات تا زمان حال بستگی دارد ، که منعکس کننده ماهیت غیر مارکووی FBM است. مورد بدون علامت نوسانات کوچک در مورد ثابت در گارنیه و سولنا مورد بحث قرار می گیرد [12] در حالی که در اینجا تمرکز بر روی مجانب مرتبط با جداسازی مقیاس های زمانی است.

سرانجام اظهار داشتیم که تعمیم بیشتر ، نسبت به مدلهای مبتنی بر FBM ، مورد مدل های مبتنی بر حرکت براون چند قالتی است (به عنوان مثال مراجعه کنید [45]). این امر باعث می شود که یک قانون محلی غیر ثابت و یک شاخص Hurst وابسته به زمان را در نظر بگیرید ، به طوری که نوسانات ضمنی به میانگین وزنی شاخص محلی Hurst بستگی دارد. در اینجا ما یک وضعیت یکپارچه با ارزش ثابت برای شاخص Hurst را در نظر می گیریم ، موارد چند قمری در جای دیگر در نظر گرفته می شود.

3. مدل نوسانات تصادفی_{قیمت x}حرف