3. اقدامات گسترش

هدف از شناسایی یک مقدار "مرکزی" از یک مجموعه داده توصیف یک مقدار معمولی در مجموعه داده ها بود. پس از دانستن این موضوع ، می توانیم میزان پراکندگی یا گسترش مقادیر داده را از مقدار معمولی ، مرکزی ، اندازه گیری کنیم. به عبارت دیگر ، ما می خواهیم محاسبه کنیم که داده های ما چگونه "پخش" شده است. سه اقدامات اصلی پراکندگی برای یک مجموعه داده دامنه ، واریانس و انحراف استاندارد است.

محدوده

دامنه یک متغیر به سادگی "فاصله" بین بزرگترین مقدار داده و کوچکترین مقدار داده است. در نمادهای ریاضی:

دامنه = بزرگترین مقدار داده - کوچکترین مقدار داده

جدول نشان داده شده اولین نمرات امتحانات را برای یک کلاس با 11 دانش آموز ارائه می دهد. دامنه این مجموعه داده ها:

دامنه = 94 - 64 = 30

محاسبه دامنه نیاز به استفاده از تنها دو مقدار دارد: کوچکترین و بزرگترین مقادیر داده. اگر هر یک از دو مقدار تغییر کند ، دامنه آن نیز انجام می شود. بنابراین ، دامنه به وضوح در برابر مقادیر شدید در مجموعه داده مقاوم نیست. هیچ مقدار داده دیگر بر دامنه تأثیر نمی گذارد.

واریانس نمونه

واریانس یک مجموعه داده خلاصه عددی است که نشان دهنده میانگین انحراف هر مقدار داده از میانگین یک مجموعه داده است. محاسبه واریانس یک مجموعه داده ما را ملزم به مقایسه هر مقدار داده از لیست خام ما ، x₁,x₂,x₃,…,x_(N-1),x_n>، به میانگین x̄. ایده انحراف فقط تفاوت است ، همانطور که توسط تفریق محاسبه می شود. در نمادها ، انحراف در مورد میانگین مقدار داده اول ، x_i، مقدار است: (x_i- ایکس ).

به دلیل تعریف میانگین یک مجموعه داده ، اگر انحراف را از میانگین برای هر مقدار داده اضافه کنید ، همیشه صفر خواهید شد. در نمادها ، σ (x_i- x̄) = 0. این کمی فنی است ، اما آنچه اساساً به معنای این است که ما فقط نمی توانیم میانگین انحرافات را متوسط کنیم. ما همیشه صفر می شویم !!

برای رسیدن به این موضوع ، ما به راهی نیاز داریم تا بدون توجه به اینکه مقدار داده زیر یا بالاتر از میانگین باشد ، همه انحرافات را از میانگین مثبت ایجاد کنیم. به عنوان مثال ، اگر شما در دو مایل شمال یک شهر زندگی می کنید و من دو مایل جنوب در همان شهر زندگی می کنم ، مضحک خواهد بود که بگوییم "من 2 مایل از شهر منفی زندگی می کنم."هر دو ما دو مایل دورتر زندگی می کنیم.

از نظر ریاضی ، یکی از راه های مثبت همه انحرافات استفاده از یک مقدار مطلق است. راه دیگر ، که ما برای محاسبه تغییر و انحراف استاندارد یک مجموعه داده استفاده خواهیم کرد ، این است که هر انحراف را مربع کنیم. برای مثال شهر ، مقدار انحراف شما 2 2 = 4 خواهد بود و مقدار انحراف من (-2) 2 = 4 خواهد بود. بنابراین ، انحراف ما ، صرف نظر از مثبت یا منفی بودن ، یکسان خواهد بود! بنابراین ، برای درمان تفاوت های مثبت و تفاوت های منفی به همان اندازه ، ما انحرافات را مربع می کنیم: (x_i- x̄) 2.

سرانجام ، از آنجا که واریانس میانگین انحراف هر مقدار داده را از میانگین کل مجموعه داده ها اندازه گیری می کند ، ما مقدار تغییر مربع را برای هر نقطه داده اضافه می کنیم و بر اساس مقدار (n-1) تقسیم می کنیم ، یک کمتر از تعدادمقادیر دادهاین "دشواری" فنی دیگری است که بعداً با آن سر و کار خواهیم داشت. مقدار (n - 1) به درجه ویژه تعیین شده از مجموعه داده ها داده می شود. دلیل این امر در طول کلاس روشن تر خواهد شد ، اما سناریوی ساده زیر را تصور کنید: شما و چهار دوست به یک رستوران چینی می روید و در پایان غذا ، سرور شما کوکی های Fortune Group 5 شما را به ارمغان می آورد و آنها را تنظیم می کند. یک شمع در وسط میز. چه تعداد از حزب 5 نفره شما می توانند ثروت خود را انتخاب کنند؟فقط 4. دلیل این امر آشکار است: پس از 4 نفر انتخاب کوکی های ثروت خود را داشته اند ، فقط یک نفر باقی مانده است. شخص پنجم هیچ انتخاب ثروت ندارد. درجه آزادی برای این "مشکل" بنابراین 5 - 1 = 4 است.

مثال دیگر ، این بار از دیدگاه ریاضی: اگر کسی به شما بگوید که به 3 شماره که میانگین آنها 5 است ، فکر می کنند ، قبل از اینکه همه 3 را بدانید ، چه تعداد از سه عدد را باید بدانید؟بعد از کمی فکر ، متوجه خواهید شد که جواب 2 است. اگر به شما گفته می شود که دو عدد 2 و 10 هستند ، کمی فکر (و برخی جبر) به شما کمک می کند تا متوجه شوید که آخرین شماره باید باشد

باز هم ، درجه آزادی برای این مشکل 3 - 1 = 2 است.

در تمام شکوه خود ، فرمول ریاضی برای محاسبه واریانس نمونه:

جایی که n اندازه نمونه است.

مثال: محاسبات برای یک واریانس نمونه

جدول فوق با بازگشت به جمعیت نمرات امتحانات برای یک کلاس با 11 دانش آموز ، محاسبات (گاهی اوقات خسته کننده!) را برای واریانس جمعیت نشان می دهد. میانگین این جمعیت داده ها x̄ = 82 است.

انحراف کل مربع برای داده های جمعیت 1272 است. بنابراین ، واریانس مجموعه داده ها: