بازنمایی فاز فضا از پراش در زمان: نتایج تحلیلی

برای تجربه مزایای فرمت پرونده EPUB3 به یک نرم افزار reader یا سازگار نیاز دارید.

994 بارگیری در کل

این مقاله را به اشتراک بگذارید

نامه الکترونیکی نویسنده

وابستگی های نویسنده

1 Max-Planck-Institut Für Physik Komplexer Systeme ، خیابان Nöthnitzer. 38 ، D-01187 درسدن ، آلمان

2 مرکز پدیده های غیرخطی و سیستم های پیچیده ، Université Libre de Bruxelles (ULB) ، کد پستی 231 ، پردیس Plaine ، B-1050 بروکسل ، بلژیک

3 دانشکده ریاضیات و فیزیک ، دانشگاه پورتسموث ، پورتسموث PO1 3HF ، انگلستان

یادداشت های نویسنده

4 نویسنده ای که باید به هر مکاتبات پرداخته شود.

شناسه های orcid

تاریخ

1. 7 اکتبر 2021 دریافت کرد
2. اصلاح شده 17 ژانویه 2022
3. 15 فوریه 2022 را پذیرفت
4. منتشر شده 11 مارس 2022

خلاصه

پراش در زمان خود را به عنوان ظاهر حاشیه های چگالی احتمال وقتی که یک موج ماده از یک صفحه مات با تغییرات زمانی ناگهانی خواص انتقال عبور می کند ، تجلی می یابد. در اینجا ما به صورت تحلیلی ساختار فاز فضا حاشیه های پراش در زمان را برای یک کلاس از توری های زمان صاف توصیف می کنیم. به طور دقیق تر ، ما یک بیان تحلیلی برای توزیع Husimi که نمایانگر وضعیت سیستم در مورد توری های زمانی است که شامل جانشینی از شکاف های شبیه لورنتزی است ، می گیریم. به طور خاص ، برای یک سناریوی دوتایی ، ما یک عبارت ساده و بصری را به دست می آوریم که به طور دقیق موقعیت حاشیه های تداخل را در فضای فاز ضبط می کند.

استناد به صادرات و چکیدهBibtex RIS

محتوای اصلی این کار ممکن است تحت شرایط مجوز Creative Commons Attribution 4. 0 استفاده شود. هرگونه توزیع بیشتر این کار باید نسبت به نویسنده (ها) و عنوان اثر ، ژورنال استناد و DOI حفظ شود.

1. معرفی

هنگامی که یک موج ماده از مانعی با تغییرات فضایی ناگهانی ویژگی‌های انتقال عبور می‌کند (به عنوان مثال، یک صفحه مات با یک یا چند روزنه)، تداخل/پراش 4 را نشان می‌دهد، که خود را به عنوان ظاهر حاشیه‌های مشخصه در چگالی احتمال نشان می‌دهد. نمادین‌ترین مثالی که چنین رفتاری را نشان می‌دهد، سناریوی مشهور یانگ دو شکاف است که اجرای آزمایشی آن برای تک الکترون‌ها [2، 3] حتی به‌طور غیررسمی به‌عنوان «زیباترین آزمایش در فیزیک» [4] نامیده می‌شود. حاشیه‌های احتمال-چگالی مشابه زمانی ظاهر می‌شوند که یک موج ماده با صفحه‌ای که ویژگی‌های انتقال آن از نظر مکانی یکنواخت است، اما به طور ناگهانی در زمان تغییر می‌کند (به عنوان مثال، شکستن نوترون) در تعامل است. این پدیده، که معمولاً به عنوان پراش در زمان از آن یاد می شود، توسط موشینسکی [5] کشف شد و در ادبیات توجه زیادی به خود جلب کرد (برای بررسی به مرجع [6] مراجعه کنید). به طور خاص، چندین درک تجربی از این اثر وجود داشته است [7-12].

رویکردهای متفاوتی برای توصیف پراش در زمان به صورت تحلیلی وجود دارد که هر کدام شامل مفروضات و تقریب های خاص خود است. ما آنها را در اینجا در زمینه مشکل فیزیکی زیر، که در مرکز کار حاضر است، ترسیم می کنیم. یک ذره کوانتومی (غیرنسبیتی و بدون ساختار) را در نظر می گیریم که در یک بعد در امتداد محور x در حضور یک شاتر در x = 0 حرکت می کند. ذره از x شروع می شود.<0 region and moves toward the shutter. The latter is an infinitesimally thin barrier that can be opened and closed (suddenly or gradually) in the course of time. During the time intervals when the barrier is fully open, the system behaves simply as a free particle on a line. On the other hand, a completely closed barrier blocks the matter-wave exchange between the incident ( x <0) and transmission ( x>0) مناطق

هدف اصلی ما پرداختن تحلیلی به ظاهر و ساختار حاشیه‌های احتمال-چگالی ناشی از تغییرات زمانی شفافیت شاتر است. نیازی به گفتن نیست که خواص فیزیکی شاتر، به عنوان مثال. قابلیت بازتاب و جذب آن، به شدت به تحقق خاص سناریوی شاتر ذره بستگی دارد، و اساساً، همه رویکردهای تحلیلی موجود برای این مشکل در نحوه توصیف ریاضی شاتر با یکدیگر متفاوت هستند.

یک روش ظاهری برای مدل سازی کرکره ، معرفی یک Dirac Delta Delta Potential V (X ، T) = ω (t) δ (x) در همیلتون است که حاکم بر پویایی ذرات است. عملکرد مثبت ω (t) بین 0 و ∞ متغیر است و شفافیت شاتر را کنترل می کند: کرکره هنگامی که ω = 0 باز است باز است و وقتی ω = ∞ بسته می شود. مشکل اصلی این رویکرد این است که راه حل های تحلیلی به معادله Schrödinger وابسته به زمان مربوطه فقط در موارد خاص بسیار معروف است: ω (t) = ثابت [13 ، 14] ، ω (t) ∝ t [15]ω (t) ∝ 1/ t [16] ، و با A ، B ، C برخی ثابت ها [17]. این امر به شدت دامنه سیستم های پراش در زمان را برای بررسی تحلیلی محدود می کند. به عنوان مثال ، به نظر نمی رسد که نسخه دامنه زمان سناریوی دوتایی در رویکرد دلتا پتانسیل از نظر تحلیلی قابل دسترسی باشد.

An alteative analytic approach to investigating the particle-shutter system is to focus entirely on the transmission, i.e. x> 0, region. The particle's wave function Ψ( x , t ) satisfies the free-particle Schrödinger equation for all x> 0 and t> 0. Initially, at t = 0, the particle is assumed to have a zero probability to be found in the transmission region: Ψ( x , 0) = 0 for all x> 0. The action of the shutter is then introduced by means of a time-dependent boundary condition imposed on the wave function at x = 0, namely Ψ(0, t ) = a ( t ) for all t>0. در اینجا یک (t) یک عملکرد داده شده (با ارزش پیچیده) است که اساساً شامل تمام اطلاعات مربوط به بسته موج اولیه در این حادثه است (x<0) region, as well as the time protocol of the shutter opening. This approach is very popular in diffraction-in-time studies and has been extensively used in the literature (see, e.g., references [9, 18–22]). What it does not take into account however is the back-action of the transmitted matter wave on the incoming wave in the incident region. Such a back-action may arise, for instance, as a consequence of the so-called quantum backflow effect (see references [23, 24] for pioneering works on quantum backflow and the introduction section in reference [25] for the most up-to-date review of the literature).

یک رویکرد دیگر ، که در ابتدا در منابع [26 ، 27] توسعه یافته است و اینکه ما از این پس به عنوان مدل عملکرد دیافراگم یاد می کنیم ، از اهمیت ویژه ای برای کار حاضر برخوردار است. این شاتر را مدل می کند که می تواند موج ماده حادثه را جذب کند اما پراکنده نیست. شفافیت شاتر می تواند به طور دلخواه به زمان وابسته باشد و این وابستگی توسط یک عملکرد دیافراگم χ (t) نشان داده می شود. دومی بین 0 (کاملاً جذاب ، کرکره بسته) و 1 (کاملاً انتقال دهنده ، شاتر باز) متغیر است. در مدل عملکرد دیافراگم ، کرکره با استفاده از شرایط تطبیق وابسته به زمان ناپیوسته ، شامل χ (t) ، که مقدار عملکرد موج ψ و مشتق مکانی آن ∂ψ/∂ x را در سراسر کرکره وصل می کند ، مدل می شود. این شرایط تطبیق نزدیک به شرایط تطبیق کوتلر برای توجیه نظریه پراش کیرچوف در اپتیک موج ثابت است [28-30] ، که دومی شناخته شده است که پیش بینی های تجربی مرتبط در منطقه انتقال را به همراه دارد [30]. سپس مدل عملکرد دیافراگم به فرد اجازه می دهد تا عملکرد موج ذرات را در منطقه انتقال به عنوان یک انتگرال شامل حالت اولیه ψ (x ، 0) و عملکرد دیافراگم χ (t) بیان کند. این عملکرد موج منتقل شده از مدل عملکرد دیافراگم به صراحت نشان داده شده است که با عملکرد موج به دست آمده از یک تجزیه و تحلیل مبادله اول ، بر اساس یک ω (T) Δ (x) ، از نظر جسمی مرتبط است. سیستم ها [31].

در این مقاله ، ما به صورت تحلیلی حاشیه های تداخل به دست آمده در یک کلاس از سناریوهای پراش در زمان را با گسترش مدل عملکرد دیافراگم به فضای فاز توصیف می کنیم. به طور دقیق تر ، با فرض اینکه ذرات حادثه با یک بسته موج سریع بومی سازی شده (گاوسی) مشخص می شود ، ما یک عبارت برای توزیع شبه قابلیت قابلیت Husimi را نشان می دهیم که بخشی از موج ماده را که از طریق کرکره منتقل می شود ، نشان می دهد. ما سپس این عبارت را به صورت تحلیلی ارزیابی می کنیم تا زمانی که عملکرد دیافراگم کرکره χ (t) از تعداد محدودی از شکاف های شبیه لورنتزیان تشکیل شده است. نتیجه تحلیلی نهایی ما ، به دست آمده برای شکاف های باریک ، توضیحی ساده و بصری از تداخل/پراش شکاف (چندگانه) در حوزه زمان ارائه می دهد. توجه ویژه به موارد تک و دوتایی اختصاص یافته است.

مقاله بصورت زیر مرتب شده است. ما ابتدا در بخش 2 تعریف مدل عملکرد دیافراگم را به یاد می آوریم. ما به طور خاص می بینیم که توزیع Husimi مرتبط با حالت منتقل شده می تواند به عنوان یک انتگرال در یک بازه زمانی محدود بیان شود. سپس در بخش 3 بحث می کنیم که چگونه می توان دومی را به عنوان یک انتگرال کانتور در هواپیمای پیچیده که امکان استفاده از قضیه باقیمانده Cauchy را دارد ، نوشت. ما به طور خاص می بینیم که این رویکرد نیاز به یک فرد برای محاسبه باقیمانده در یک تکینگی اساسی دارد. این مشکل فنی چالش برانگیز در بخش 4 مورد بررسی قرار گرفته است. در اینجا ما صریحاً این باقیمانده و در نتیجه توزیع Husimi حاصل را برای یک کلاس خاص از توابع دیافراگم χ محاسبه می کنیم._حرفاز فرم χ_حرف(t) = 1/[1 + ν n (t - t) n] ، با n یک عدد صحیح. چنین توابع شبیه لورنتزی موانع apodization را توصیف می کنند ، که به راحتی در طول زمان باز می شوند و دارای عرض 1/ ν هستند. انتگرال اساسی که توزیع Husimi توسط ساخت و ساز خطی در χ وجود دارد ، نتایج ما می تواند به طور ساده به توابع دیافراگم گسترش یابد که در یک توالی دلخواه از چنین χ تشکیل شده است._حرف: با استفاده از زمان های مختلف باز ، سپس به طور مؤثر یک توری را توصیف می کند. ما با مورد خاص (Lorentzian) N = 2 در بخش 5 رفتار می کنیم. با توجه به رژیم شکاف ν ≫ 1 موانع باریک لورنتزی₂به ما اجازه می دهد تا بیان تحلیلی خود را از توزیع Husimi به طور قابل توجهی ساده کنیم. به طور خاص ، ما قادر به بیان یک بیان تحلیلی ساده از موقعیت حاشیه های تداخل در فضای فاز هستیم. کار ما خلاصه شده و اظهارات نتیجه گیری در بخش 6. ترسیم شده است. جزئیات فنی اضافی به ضمائم به تعویق می افتد.

2. مدل عملکرد دیافراگم جذب موج ماده

در این بخش ما بحث می کنیم که چگونه پویایی بسته های موج کوانتومی در حضور یک مانع را می توان به اندازه کافی توسط یک مدل خاص از جذب موج ماده توصیف کرد. مورد دوم در ابتدا در [26 ، 27] ابداع شد و از این پس به عنوان مدل عملکرد دیافراگم یاد می شود. ما یک ذرات کوانتومی بدون ساختاری غیرقانونی از جرم m را در نظر می گیریم که در یک بعد در امتداد محور x حرکت می کند ، و حالت آن در زمان τ توسط یک عملکرد موج (x ، τ) توصیف می شود. سد جذب کننده به زمان وابسته و نقطه ای ، در موقعیت x = 0 قرار می گیرد.

فرض بر این است که این ذرات در زمان اولیه τ = 0 در حداقل اطمینان از بسته موج گاوسی ، یعنی تهیه می شود.

جایی که x₀وت₀ correspond to the initial mean position and mean velocity, respectively, of the particle, while σ>0 عرض بسته موج را مشخص می کند. در طول این کار ، ما از سرعت استفاده می کنیم نه Momenta p = m. حالت آزادانه تکامل یافته در مدتی τ ، با